Кратные и криволинейные интегралы. Син Л.И - 17 стр.

                                                          17

                                            b

                          ∫
                          L
                              f ( x, y)dl =∫ f ( x, g ( x)) 1 + g ′( x) 2 dt .
                                            a
                                                                                                                   (23)

                                             Примеры. 12) Вычислить интеграл xydl , где L−            ∫
                                                                                                      L
                                    часть окружности x2 + y2 = 4, расположенная в первой четвер-
                                    ти координатной плоскости.
                                           Решение. Параметрическое уравнение данной кривой L
                                    имеет вид x = 2cost , y=2sint, 0 ≤ t ≤π/2. Положив
                                     f ( x, y ) = xy, ϕ (t ) = 2 cos t , ψ (t ) = 2 sin t , α = 0, β = π 2
                                    применим формулу (22). Сначала вычислим
                                                  ϕ ′(t )2 + ψ ′(t )2 = ((2 cos t )′)2 + ((2 sin t )′)2 =
           Рисунок 14                                      = 4 sin 2 t + 4 cos2 t = 2.
                                    Далее f (ϕ (t ), ψ (t )) = 2 cos t ⋅ 2 sin t = 2 sin 2t .
                                                  π /2
                                                                                       π /2
Теперь по формуле (22) имеем        ∫ xydl =       ∫ 2 sin 2t ⋅ 2dt = −2 cos 2t |0              = −2(cos π − 1) = 4.
                                    L              0
      13) Вычислить массу части параболы y2 =4х от точки О(0, 0) до точки А(4, 4), если ее
линейная плотность равна μ (х, у) = у.
      Решение. Кривая ОА приведена на рис.15. Положим
                                                   f ( x, y ) = y, g ( x) = 4 x = 2 x , a = 0, b = 4.
                                        По формуле (23) имеем

                                                                         4
                                                         m=    ∫    ydl = ∫ 2 x 1 + ((2 x )′)2 dx =
                                                               OA        0

                                                               4                            4
                                                          = 2∫      x 1 + 1x dx = 2∫ 1 + x dx =
                                                               0                            0


            Рисунок 15
                                                   = 2⋅
                                                          2
                                                          3
                                                            (1 + x) 3
                                                                         4

                                                                         0
                                                                             =
                                                                                 4
                                                                                 3
                                                                                     ( 5 −1) = 43 (5
                                                                                        3
                                                                                                               )
                                                                                                          5 −1 .

        16. Криволинейный интеграл 2-го рода.
        Рассмотрим ориентированную незамкнутую кривую L = АВ в плоскости хОу с нача-
лом в точке А и концом в точке В; z=f (x,y) − функция, определенная на кривой L. Разобьем
кривую L последовательными точками
                                        А0=А, А1, А2, . . . , Аn=В
на дуги δ1= А0А1, δ2= А1А2, . . . , δn= Аn-1Аn и на дуге δi выберем произвольную точку Мi(ti , si)
(i = 1, 2, . . . , n) (рис. 16). Обозначим Δxi = xi − xi−1 , Δyi = yi − yi−1, а δ −наибольшую из длин
дуг δi (i = 1,2, . . . , n).
        Составим интегральную сумму функции f (x,y) по кривой L относительно х
                                            n
                                   S x = ∑ f (t i , s i )Δx i
                                           i =1