Кратные и криволинейные интегралы. Син Л.И - 19 стр.

                                                                 19


                                              S ( D) = 12 ∫ x dy − y dx.                                        (28)
                                                             L
       17. Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода.
       Пусть ориентированная кривая L задана параметрическими уравнениями
                                 x = ϕ (t), y=ψ (t), α ≤ t ≤β,
где ϕ (t), ψ (t) − непрерывно дифференцируемые на отрезке [α, β ] функции. Тогда
                                             β ( или α )
         ∫ f ( x, y)dx + g ( x, y)dy =           ∫ ( f (ϕ (t ),ψ (t ))ϕ ′(t ) + g (ϕ (t ),ψ (t ))ψ ′(t ))dt .   (29)
         L                                   α (или β )
Пределы интегрирования выбираются в соответствии с ориентацией кривой L: если ориента-
ции кривой L соответствует изменение параметра t от α до β, то в формуле (29) выбирается
первый вариант пределов интегрирования. В противном случае в (29) нужно выбирать вари-
ант пределов интегрирования в скобках.
     Пусть кривая L задана явно уравнением y=h(x), a≤ x ≤b, где h (x) − непрерывно
дифференцируемая на отрезке [a, b] функция. Тогда
                                                    b ( или a )
               ∫   f ( x, y )dx + g ( x, y )dy =           ∫ ( f ( x, h( x)) + g ( x, h( x)))h′( x)dx .         (30)
               L                                    a ( или b)
Пределы интегрирования выбираются в соответствии с ориентацией кривой L, как в формуле
(29).
     Пусть кривая L задана явно уравнением x=h(y), a≤ y ≤b, где h (y) − непрерывно
дифференцируемая на отрезке [a, b] функция. Тогда
                                                       b ( или a )

                   ∫   f ( x, y )dx + g ( x, y )dy =        ∫ ( f (h( y), y)h′( y) + g (h( y), y))dy .          (31)
                   L                                   a ( или b )

Пределы интегрирования выбираются в соответствии с ориентацией кривой L, как в формуле
(29).
                                            r
      Примеры. 14) Вычислить работу силы F ( x, y ) = ( y, x) , приложенной к точке М(x, y)
при перемещении точки вдоль кривой x = 2cost , y=2sint, 0 ≤ t ≤π/2 от точки (0, 2) до точки
(2, 0).
        Решение. Данная кривая − это дуга ВА из рис. 14. По формуле (27) искомая работа
равна
                                                  W=        ∫ ydx + xdy.
                                                           BA

      Положим f ( x, y ) = y, g ( x, y ) = x, ϕ (t ) = 2 cos t , ψ (t ) = 2 sin t , α = 0, β = π 4 и
применим формулу (29). При этом учтем, что при движении по кривой от точки В до точки А
параметр t изменяется от π/2 до 0.

                   ∫ (2 sin t ⋅ (2 cos t ) ′ + 2 cos t ⋅ (2 sin t ) ′)dt = 4 ∫ (− sin t + cos t )dt =
                   0                                                              0
                                                                                     2       2
          W=
               π /2                                                             π /2
                                   0
                                                                 0
                           =4      ∫ cos 2tdt =2 sin 2t |π / 2 = 2 sin 0 − 2 sin π = 0.
                                  π /2


                             ∫y        dx + xdy , где кривая ОА дана на рис. 15.
                                   2
       15) Вычислить
                             OA