Кратные и криволинейные интегралы. Син Л.И - 21 стр.

                                                          21

                                                         Решение. На рисунке 17 изображена об-
                                                 ласть интегрирования D. Для вычисления двой-
                                                 ного интеграла по этой области можно восполь-
                                                 зоваться как формулой (5), так и формулой (7),
                                                 т.к. граница области D пересекается не более,
                                                 чем в двух точках как прямыми, параллельны-
                                                 ми оси Ох, так и прямыми, параллельными оси
                                                 Оу.
                                                         Применим формулу (5), т.е. внутренний
                                                 интеграл берем по y, считая x постоянным, а
                                                 внешний интеграл – по x. Область D находится
                                                 в полосе между прямыми x = 0 и x = 1, следова-
                                                 тельно, 0 ≤ x ≤ 1. Чтобы найти пределы измене-
                  Рисунок 17                     ния для y, поступим так: возьмём на оси Ох
                                                 произвольную точку x∈(0,1) и проведём через
                                                 неё прямую, параллельную оси Оу в направле-
нии этой оси. Она пересекает границу области D сначала в точке С, затем в точке В (рис. 17).
У точки С ордината y = x2, у точки В ордината y = x , т.е. x2 ≤ y ≤ x. Таким образом,
D = {(x, y): 0 ≤ x ≤ 1, x2 ≤ y ≤ x}. Тогда, согласно (5), имеем:
                                                                1     x
                                      ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫ dx ∫ f ( x, y )dy.
                                      D                         0    x2
       Применим к этому двойному интегралу формулу (7). В этом случае внутренний инте-
грал берём по переменной x, считая y постоянным, а внешний – по y Область D находится в
полосе между прямыми y = 0 и y = 1, следовательно, 0 ≤ y ≤ 1. Для того, чтобы установить
пределы изменения переменной x, возьмём на оси Оу произвольную точку y∈(0,1) и прове-
дём через неё прямую, параллельную оси Ох в направлении этой оси. Т.к. точка B1 входа
этой прямой в область D имеет абсциссу x = y, а точка C1 выхода этой прямой из области D
имеет абсциссу x = y , то переменная x меняется от y до y . Значит
D = {(x, y): 0≤ y≤1, y ≤ x ≤    y }. Следовательно, согласно (7), имеем
                                                               1      y

                                      ∫∫   f ( x , y ) dxdy = ∫ dy   ∫    f ( x , y ) dx .
                                      D                        0      y
       2. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле
                                             1        y                      e         1
                  ∫∫   f ( x , y ) dx dy =   ∫   dy   ∫   f ( x , y ) dx +   ∫   dy    ∫     f ( x , y ) dx .
                  D                          0        0                      1        ln y

        Решение. В отличие от задачи 1), здесь не дана область интегрирования D, и мы
должны выяснить её вид по пределам интегрирования повторных интегралов. Обозначим D1
− область интегрирования первого повторного интеграла, D2 − область интегрирования вто-
рого повторного интеграла. Т.к. внутренние интегралы берутся по x, то их пределы показы-
вают, какими линиями области D1 и D2 ограничены справа и слева. Область D1 задаётся не-
равенствами 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x≤ y , т.е. D1 = {(x, y): 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x≤ y }. Соответственно, об-
ласть D2 задаётся неравенствами 1 ≤ y ≤ e, lny ≤ x≤ 1, т.е. D2 = {(x, y): 1 ≤ y ≤ e, lny ≤ x≤ 1}.
Очевидно, D = D1 ∪ D2 (рис.18). Область D расположена в вертикальной полосе между пря-
мыми x = 0, x = 1 и между линиями y = x2, y = ех. Это значит, что D = {(x, y): 0 ≤ x ≤ 1, x2 ≤
y≤ ех}. Тогда по формуле (5) получаем