Кратные и криволинейные интегралы. Син Л.И - 22 стр.

                                                                                 22




                                Рисунок 18                                                        Рисунок 19

                                                                                  1    ex
                                                          ∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫ dx ∫2 f ( x, y) dy.
                                                           D                      0    x

                                                   5     5− x
                3. Вычислить I = ∫ dx                      ∫    4 + x + y dy .
                                                   0       0
                Решение.
5        5− x                       5       5− x                                  5                                       5
                                                                                       2(4 + x + y ) 3 / 2   5− x       2
∫ ∫ dx          4 + x + y dy = dx   ∫ ∫                                           ∫
                                                       4 + x + y d (4 + x + y ) = dx
                                                                                              3               0
                                                                                                                    =
                                                                                                                        3 ∫
                                                                                                                          (9 3 / 2 − (4 + x) 3 / 2 )dx =
0         0                         0        0                                    0                                       0

2⎡         2(4 + x )    5/ 2   ⎤    5       2⎡         2           2          ⎤ 2⎡      2      2    ⎤ 2⎛       27 ⋅ 18 64 ⎞
   ⎢27 x −                     ⎥        =    ⎢ 27 ⋅ 5 − ⋅ 9 5 / 2 + ⋅ 4 5 / 2 ⎥ = ⎢135 − ⋅ 35 + ⋅ 32⎥ = ⎜135 −        + ⎟=
3 ⎢⎣            5              ⎥⎦   0       3⎣         5           5          ⎦ 3⎣      5      3    ⎦ 3⎝         5     5 ⎠

 2 675 + 64 − 486 506
= ⋅              =    .
 3        5        15

                                              2π                     a
                                                           2
                4. Вычислить I =                 ∫     cos x dx ∫ ydy .
                                                 0                   0
                Решение.
                        2π                                 2π            a                                                    2π
                                2
                                             a
                                                 y2     a2 2π 1+ cos2x
                                                                 2        a2 ⎛ sin2x ⎞  a2
                    I = ∫cos x dx∫ y dy = ∫cos x    dx = ∫            dx = ⎜ x +     ⎟ = ⋅π .
                        0        0        0
                                                 2      2 0       2       4⎝     2 ⎠0   2
                                                                         0


                              x2
                5. Вычислить: I= ∫∫
                                2
                                  dxdy , где D ограничена прямыми y=x и x=2 и гиперболой xy=1.
                            D y
       Решение. Область интегрирования изображена на рисунке 19. Решая систему, со-
стоящую из уравнений прямой y=x и гиперболы xy=1, получим координаты точки их пере-
сечения А(1,1). Для вычисления интеграла по области D удобно воспользоваться формулой
(5). Пределы внешнего интеграла по x – это абсциссы самой левой и самой правой точек об-
ласти D , т.е. 1 и 2. При 1 ≤ x ≤ 2, y будет изменяться от 1/x до x. Следовательно,
D = { (х; y): 1 ≤ x ≤ 2, 1/x ≤ y ≤ x }. Тогда