Кратные и криволинейные интегралы. Син Л.И - 24 стр.

                                                                    24

       Решение. Представим уравнение окружности x2+y2=4 в полярных координатах. По
формулам (9) имеем: x2+y2 = 4 ⇔ r 2cos2ϕ +r 2sin 2ϕ = 4 ⇔ r2 = 4 ⇒ r = 2.
       Расставим пределы интегрирования в повторном интеграле. Областью интегрирова-
ния является полукруг (рисунок 21,а). Все точки этого полукруга будут охвачены, если угол
ϕ поворачивать от ϕ = 0 до ϕ = π. Значит, при любом 0 ≤ ϕ ≤ π, полярный радиус r будет из-
меняться от 0 до 2.Таким образом, S = {(r, ϕ): 0 ≤ ϕ ≤ π, 0 ≤ r ≤ 2}. Cледоватеньно, по форму-




                                                         Рисунок 21

лам (11) и (12) получим

                                                                                                 (       ) (   )
                                            π        2                        π     2
                                                                  ⎛ 1⎞          1/ 2
           ∫∫   4 − x 2 − y 2 dxdy = ∫ dϕ ∫ 4 − r 2 r dr = ∫ dϕ ∫ ⎜ − ⎟ 4 − r 2      d 4 − r2 =
           S                         0    0                0    0⎝
                                                                     2 ⎠

                          1π
                       = − ∫ dϕ
                                2 4 − r2(            )3/ 2 2
                                                               =−
                                                                     1π⎛      16 ⎞       8     8
                                                                       ∫ ⎜ 0 − 3 ⎟⎠ dϕ = 3 ϕ = 3 π .
                                                                                                     π

                          20          3                              2 0⎝                   0
                                                           0
                                    2       2
                               ln( x + y )
       9. Вычислить ∫∫           dxdy , где P − кольцо между окружностями радиусов е и 1 с
                        x2 + y 2
                           P
центром в начале координат.
        Решение. На рисунке 21,б изображена область P. x2+y2=1, x2+y2=e2 – уравнения задан-
ных окружностей в декартовых координатах, а в полярной системе эти окружности задаются
формулами r = 1 и r = е. Следовательно, Р={(r,ϕ): 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 1 ≤ r ≤ е}. Тогда по формулам
(11) и (12) получим
                                                                              2π    e
                                                ln( x 2 + y 2 )                         ln r 2
                                        ∫∫        x2 + y 2
                                                                   dxdy =     ∫ dϕ ∫        2
                                                                                                 ⋅ r ⋅ dr =
                                        P                                     0     0 r
                       2π       e                          2π                       2π
                                                                     ln 2 r   e             1       2π
                   =   ∫ dϕ ∫ 2 ⋅ ln rd (ln r ) = 2 ∫ dϕ               2
                                                                                   =2∫
                                                                                            2
                                                                                              dϕ = ϕ = 2π .
                       0        1                              0              1         0            0


       11. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y2 = 4 x + 4 , y = 2 – x.
       Решение. Данная фигура изображена на рисунке 22,а. Решая систему уравнений