Кратные и криволинейные интегралы. Син Л.И - 26 стр.

                                                     26

      Прежде чем перейти к примерам на вычисление объёмов, заметим, что при вычисле-
нии объёма какого-нибудь тела полезно сделать пространственный рисунок, который давал
бы представление о форме данного тела. Если же такого рисунка не удаётся построить, то
можно ограничиться хотя бы рисунком, изображающим только область интегрирования на
плоскости xOy. Однако и в этом случае необходимо представить себе, хотя бы в самых об-
щих чертах, то тело, объём которого требуется найти.

      12. Вычислить объём тела, ограниченного параболоидом вращения z=x2+y2, коорди-
натными плоскостями и плоскостью x+y =1.
      Решение. Поверхность параболоида вращения z=x2+y2 получается вращением вокруг
оси Oz параболы z=x2. Уравнение x+y =1 в пространстве определяет плоскость, параллель-
ную оси Oz и проходящую через прямую x+y =1 в плоскости хОу. На рисунке 23,а изображе-
но тело, объём которого надо вычислить. Это тело сверху ограничено вогнутой поверхно-
стью параболоида z=x2+y2, снизу – плоскостью хОу, спереди − плоскостью x+y =1, слева −
плоскостью хОу (y =0), сзади − плоскостью уОz (x = 0). Т.к. данное тело цилиндрическое, то
для вычисления его объёма можно использовать формулу (2):




                                               Рисунок 23

                                          V = ∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdy,
                                               D
где D = {(x,y): 0≤ x≤1, 0≤ y≤1− x} – прямоугольный треугольник. Следовательно,
                 1− x

                    ∫(            )
             1                        1                         1
                                     ⎛        1 ⎞ 1− x      ⎛               1          ⎞     1
         V = ∫ dx       x + y dy = ∫ ⎜ x 2 y + y 3 ⎟ dx = ∫ ⎜ x 2 (1 − x ) + (1 − x )3 ⎟ dx = .
                         2    2

             0      0              0⎝
                                              3 ⎠ 0       0⎝
                                                                            3          ⎠     6
       13. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями z=2–x–y, y=x2, y=x, z=0.
       Решение. Поверхность y=x2 – это параболический цилиндр с образующей, парал-
лельной оси Oz, и направляющей параболой y=x2 в плоскости xOy. Наклонная плоскость z
= 2 – x – y отсекает на осях координат равные отрезки (по две единицы длины). Плоскость y
=x проходит через ось Oz и прямую y =x в плоскости xOy. z = 0 – уравнение плоскости xOy.
Тело, ограниченное этими поверхностями, изображено на рисунке 23,б. Т.к. данное тело ци-
линдрическое и z=2 – x – y, то для вычисления его объёма можно использовать формулу (2)