Кратные и криволинейные интегралы. Син Л.И - 27 стр.

                                                                       27


                                                         V = ∫∫ (2 − x − y )dxdy,
                                                                 D
где D = {(x,y): 0≤ x≤1, x2≤ y≤ x}. Следовательно,

           1       x                         1                                   1
                                     ⎛           1 ⎞ x         ⎛      7           1 ⎞         11
      V = ∫ dx ∫ (2 − x − y ) dy = ∫ ⎜ 2 y − xy − y 2 ⎟ dx = ∫ ⎜ 2 x − x 2 + x 3 + x 4 ⎟ dx =    .
          0     2                  0⎝
                                                 2    ⎠x 2
                                                             0⎝
                                                                      2           2    ⎠      60
                   x


      Студенту рекомендуется самостоятельно разобраться, как получаются пределы интег-
рирования во внутреннем и внешнем интегралах.

      14. Вычислить объём тела, ограниченного гиперболическим параболоидом z = xy и
плоскостями x + y =а, z=0.
      Решение. Заданное тело изображено на рисунке 24,а. На рисунке 24,б изображена
проекция этого тела на плоскость xOy.




                                                         Рисунок 24

                                                 a       a− x     a            a−x
                                                                        1 2              1a                  a4
                   V =     ∫∫   xydxdy = ∫ xdx            ∫ ydy = ∫ xdx 2 y          =    ∫ x (a − x )2
                                                                                                        dx =    .
                           D                     0        0       0         0            20                  24

                                                         Тройные интегралы
                                     1       x       y
       15. Вычислить I = ∫ dx ∫ dy ∫ xyz dz .
                                     0       0       0
       Решение.
       1               y         1
               x                         x
                                                 z2 y     11     x
                                                                          1 1 y4              x       11 5      1 61  1
   I = ∫ xdx ∫ ydy ∫ zdz = ∫ xdx ∫ y                  dy = ∫ xdx ∫ y 3dy = ∫ x                    =    ∫ x dx =   x =   .
       0       0       0         0       0
                                                 2 0      20     0
                                                                          20 4               0        80        48 0 48

                                                 2       xyz
       16. Вычислить I = ∫∫∫ 2 y ze                            dxdydz , если D: x =1; y =1; z =1; x = 0; y = 0; z = 0.
                                     D
      Решение. Областью интегрирования D является единичный куб, три ребра которого
лежат на координатных осях.