Кратные и криволинейные интегралы. Син Л.И - 29 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

29
вид
,3=r
,
3
1
2
rz = .4
2
rz = Из рисунка 25,a видно, что в области интегрирования Ω
1
угол
ϕ
изменяется от 0 до
2
π
, r от 0 до
3
, а
z от
3
2
r
до
2
4 r
. Поэтому
V(Ω)
∫∫∫ ∫∫∫
ΩΩ
=
====
11
2
2
2/
0
3
0
2/
0
3
0
22
4
3/
3
1
44444
ππ
ϕϕϕ
drrrrddzrdrddzrdrddxdydz
r
r
()
∫∫
==
=
2/
0
2/
0
3
0
4
2
3
2
6
19
3
19
12
1
4
3
1
4
ππ
πϕϕ
ddrr
.
18. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями z = 0, z = 9y
2
; x
2
+y
2
= 9.
Решение. Пусть Ωданное в задаче тело. На рисунке 25,б изображено тело Ω
1
часть
тела Ω, находящегося в первом октанте. Очевидно, данное в задаче тело симметрично отно-
сительно плоскостей xОz, yОz и поэтому V(Ω) = 4V(Ω
1
). Согласно формуле (14) имеем
V(Ω)
∫∫∫
Ω
=
1
.4 dxdydz
Проекция данной части тела Ω
1
на плоскость xОy есть часть круга
x
2
+y
2
9, находящегося в первой четверти ( на рис. 25,бэто четверть круга D). Т.о.,
V(Ω) =
()
∫∫ ∫∫
−−
===
3
0
9
0
9
0
3
0
9
0
2
9
0
3
0
9
0
22 2
2
2
9444
xx x
y
y
dyydxdyzdxdzdydx
3
0
2
99(4 x
dx
x
)
3
9
3
2
. Сделаем замену x=3sint, dx=3costdt. При x=0, t=0, при x=3, t=
2
π
.
V(Ω)
()
==
=
2
0
3
2
0
32
2
cos3cos9cos274cos3
3
)sin99(
sin9994
ππ
tdttttdt
t
t
()
()
+===
∫∫
dtttdttdttdttt
2
0
2
0
2
0
4
2
0
23
2cos1162cos108cos324coscoscos3108
ππππ
()
∫∫ ∫∫
=+=++
2
0
2
0
2
0
2
2
0
2
0
2
0
2
2cos272cos54272cos1621622cos2cos2127
ππ ππππ
tdttdtdtdttdtdttt
()
=++=
dtttttt
2
0
2/
0
2/
0
2/
0
2/
0
4cos1
2
27
2sin
2
54
272sin
2
162
162
π
ππππ
.
4
243
4sin
8
27
2
27
2
27
814cos
2
27
2
27
2
27
81
2/
0
2/
0
2
0
2
0
πππππ
ππ
ππ
===
tttdtdt
Рекомендуем студенту вычислить тройной интеграл в цилиндрических координатах и
сравнить с вышеприведенным вычислением по сложности.
                                                                                                          29


                 1
вид   r = 3 , z = r 2 , z = 4 − r 2 . Из рисунка 25,a видно, что в области интегрирования Ω1
                 3
                           π                           r2
угол ϕ изменяется от 0 до , r − от 0 до 3 , а z − от      до 4 − r 2 . Поэтому
                           2                            3
                                                                          π /2                    3               4− r 2          π /2            3
                                                                                                                                                        ⎛          1 ⎞
V(Ω) = 4∫∫∫ dxdydz = 4∫∫∫ rdrdϕdz = 4                                         ∫       dϕ      ∫       rdr           ∫ dz = 4        ∫    dϕ       ∫   r ⎜ 4 − r 2 − r 2 ⎟dr =
                Ω1                       Ω1                                   0               0                   r2 / 3            0             0     ⎝          3 ⎠
                                              π /2                                                                     3                π /2
                                                          ⎡ 1                                  1 4⎤
                                                                  (               )
                                                                                      3
                                                                                                                                  19                      19
                                                  ∫                                                                        dϕ =          ∫       dϕ =        π.
                                                                   2
                                      =4                  ⎢− 4 − r                    2   −     r ⎥
                                                  0       ⎣⎢ 3                                12 ⎦⎥                                3     0
                                                                                                                                                           6
                                                                                                                   0

       18. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями z = 0, z = 9−y2; x2+y2 = 9.
       Решение. Пусть Ω – данное в задаче тело. На рисунке 25,б изображено тело Ω1– часть
тела Ω, находящегося в первом октанте. Очевидно, данное в задаче тело симметрично отно-
сительно плоскостей xОz, yОz и поэтому V(Ω) = 4V(Ω1). Согласно формуле (14) имеем
V(Ω) = 4 ∫∫∫ dxdydz . Проекция данной части тела Ω1 на плоскость xОy есть часть круга
                Ω1
 2     2
x +y ≤ 9, находящегося в первой четверти ( на рис. 25,б – это четверть круга D). Т.о.,
                                    9− x 2            9− y 2                          9− x 2                                             9− x 2
                                                                                                                                             ∫ (9 − y )dy = 4∫ (9
                          3                                           3                                   9− y 2              3                                   3
                                                                                                                                                          2
           V(Ω) = 4∫ dx              ∫        dy          ∫ dz = 4∫ dx                    ∫           z                dy = 4∫ dx                                         9 − x2 −
                          0          0                    0           0                   0                   0               0              0                    0

                      3
 ⎛⎜ 9 − x 2 ⎞⎟
−⎝           ⎠ )dx . Сделаем замену x=3sint, dx=3costdt. При x=0, t=0, при x=3, t= π .
      3                                                                            2
                              π                                                                                                          π
                              2⎛          ( 9 − 9 sin t ) ⎞⎟
                                                                                                                                             (                        )
                                                                           2                  2           3
           V(Ω) = 4 ∫ ⎜ 9 9 − 9 sin 2 t −                    3 cos tdt = 4 ∫ 27 cos t − 9 cos3 t 3 cos tdt =
                      ⎜                          3         ⎟
                    0⎝                                     ⎠               0
                          π                                                                   π                               π                               π

                              (                               )
                          2                                                                   2                               2                               2
                = 108 ∫ 3 cos t − cos3 t cos tdt = 324 ∫ cos 2tdt − 108 ∫ cos 4 tdt = 162 ∫ (1 + cos 2t )dt −
                          0                                                                   0                               0                               0
           π                                                              π                           π                             π                 π                   π

                (                                         )
            2                                                             2                           2                             2                 2                   2
     − 27 ∫ 1 + 2 cos 2t + cos 2 2t dt = 162 ∫ dt + 162 ∫ cos 2t dt − 27 ∫ dt − 54 ∫ cos 2tdt − 27 ∫ cos 2 2tdt =
            0                                                             0                           0                             0                 0                   0

                                                                                                                                                  π
                                     π /2         162                 π /2                        π /2            54              π /2       27 2
                          = 162t              +
                                                   2
                                                      sin 2t                      − 27t                    −
                                                                                                                   2
                                                                                                                     sin 2t              −      ∫ (1 + cos 4t ) dt =
                                                                                                                                              2 0
                                         0                                0                           0                            0

                                                  π                   π
                                  27    27     27 2   2           27  27 π / 2 27      π / 2 243
                    = 81π −          π − ∫ dt − ∫ cos 4tdt = 81π − π − t      − sin 4t      =   π.
                                  2     2 0    2 0                2   2 0      8        0     4

      Рекомендуем студенту вычислить тройной интеграл в цилиндрических координатах и
сравнить с вышеприведенным вычислением по сложности.