Кратные и криволинейные интегралы. Син Л.И - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

31
24. Вычислить
xdyyydxx
L
2cossin4
22
+
∫
, где L − отрезок прямой, соединяющий точки
(0,0) и (4,8).
Решение. Найдём уравнение прямой, проходящей через данные точки:
.2
08
0
04
0
xy
y
x
=⇒
−
−
=
−
−
Путь интегрирования определяется этим уравнением при 0
≤ х ≤ 4. Приняв х за параметр,
найдём
dy = 2dx и подставим в интеграл значения y и dy. Получим:
()
∫∫∫
==⋅+=+
4
0
4
0
2222
.32422cos22sin42cossin4 xdxdxxxxxxdyyydxx
L
25. Даны точки
А (0,6) и В (3,0). Найти работу, совершаемую силой jyixF
2
2 −= на
отрезке
АВ.
Решение. Отрезок
АВ лежит на прямой:
.26
60
6
03
0
xy
y
x
−=⇒
−
−
=
−
−
Поскольку
),2(),(
2
yxyxF −= ,то по формуле (27) искомая работа равна
∫
−=
AB
dyyxdxW
2
2 . Приняв в
формуле (30)
y =6 − 2x, dy =
−
2dx, a = 0, b = 3, имеем
∫∫ ∫
=+−+=+−+=−−−=
3
0
3
0
3
0
222
)848722()42436(22)2()26(2 dxxxxdxxxxdxdxxxdxW
.495207288)207472()72923372()
3
8
2372(
3
0
32
=+=−⋅=+⋅−⋅=+−= xxx
26. Даны точки
А(2,0) и В(4,2). Вычислить I =
∫
++−
L
dyyxdxyx ,)()(
22
где L − лома-
ная
ОАВ.
Решение. Интеграл по ломаной равен сумме интегралов по составляющим её отрез-
кам. Следовательно,
I =
∫∫∫
++−+++−=++−
LABOA
dyyxdxyxdyyxdxyxdyyxdxyx
222222
)()()()()()(.
На отрезке
ОА 0≤х≤2, у=0, dy=0, а на АВ 2≤х≤4, у=х
−
2, dy=dx. Поэтому
I
∫∫∫∫
=+−++=−++−+=
2
0
4
2
22222
)4844()22()2()( dxxxdxxdxxdxxxdxx
OA AB
=
.
3
136
3
128
3
8
)16
3
32
16()64
3
464
32(
3
8
4
3
4
8
3
4
2
23
2
0
3
=+=−+−−
⋅
++=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−++ xxx
x
                                                                            31


                                  ∫ 4 x sin
                                              2
       24. Вычислить                              ydx + y cos 2 2 xdy , где L − отрезок прямой, соединяющий точки
                                   L
(0,0) и (4,8).
        Решение. Найдём уравнение прямой, проходящей через данные точки:
                                                                    x−0 y−0
                                                                       =    ⇒ y = 2 x.
                                                                    4−0 8−0
Путь интегрирования определяется этим уравнением при 0 ≤ х ≤ 4. Приняв х за параметр,
найдём dy = 2dx и подставим в интеграл значения y и dy. Получим:


                                                                    (                                  )
                                                                4                                             4

                ∫ 4 x sin ydx + y cos 2 xdy = ∫ 4 x sin 2 x + 2 x cos 2 x ⋅ 2 dx = ∫ 4 xdx = 32.
                         2           2                 2             2

                L                                               0                                             0

       25. Даны точки А (0,6) и В (3,0). Найти работу, совершаемую силой F = 2 xi − y 2 j на
отрезке АВ.
                                                                                            x−0 y−6
       Решение. Отрезок АВ лежит на прямой:                                                    =            ⇒ y = 6 − 2 x.       Поскольку
                                                                                            3−0 0−6
F ( x, y ) = (2 x, − y 2 ) ,то по формуле (27) искомая работа равна W =                                      ∫ 2 xdx − y
                                                                                                                           2
                                                                                                                               dy . Приняв в
                                                                                                            AB
формуле (30) y =6 − 2x, dy = − 2dx, a = 0, b = 3, имеем

        3                                              3                                               3
   W = ∫ 2 xdx − (6 − 2 x) 2 (−2dx) = ∫ 2 xdx + 2(36 − 24 x + 4 x 2 )dx = ∫ (2 x + 72 − 48 x + 8 x 2 )dx =
        0                                              0                                               0
                           8                  3
         = (72 x − 23 x 2 + x 3 ) = (72 ⋅ 3 − 23 ⋅ 9 + 72) = (72 ⋅ 4 − 207) = 288 + 207 = 495.
                           3     0


       26. Даны точки А(2,0) и В(4,2). Вычислить I = ∫ ( x − y ) 2 dx + ( x + y ) 2 dy, где L − лома-
                                                                                         L
ная ОАВ.
       Решение. Интеграл по ломаной равен сумме интегралов по составляющим её отрез-
кам. Следовательно,

       I = ∫ ( x − y ) 2 dx + ( x + y ) 2 dy =             ∫ ( x − y)
                                                                        2
                                                                            dx + ( x + y ) 2 dy + ∫ ( x − y ) 2 dx + ( x + y ) 2 dy .
            L                                              OA                                     AB


       На отрезке ОА 0≤х≤2, у=0, dy=0, а на АВ 2≤х≤4, у=х−2, dy=dx. Поэтому
                                                                                        2          4
         I =        ∫    ( x) 2 dx +                 2              2        2               2
                                       ∫ ( x − x + 2) dx + (2 x − 2) dx = ∫ x dx + ∫ (4 + 4 x − 8 x + 4)dx =
                    OA                 AB                                               0          2
                2                                  4
        x3            ⎛      4            ⎞  8        64 ⋅ 4               32        8 128 136
      =             + ⎜ 8 x + x 3 − 4 x 2 ⎟ = + (32 +        − 64) − (16 +    − 16) = +   =    .
        3       0
                      ⎝      3            ⎠2 3          3                   3        3  3   3

Страницы