ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
32
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1.
Записать двойной интеграл от функции f (x,y) по области D в виде повторных интегралов
двумя способами. Область
D ограничена линиями x+y=2, x
2
+y
2
=4 и расположена в пер-
вой четверти.
Ответ.
∫∫ ∫∫∫∫
−
−
−
−
==
2
0
4
2
2
0
4
2
2
2
),(),(),(
x
x
y
yD
dxyxfdydyyxfdxdxdyyxf
.
2.
Записать двойной интеграл от функции f(x,y) по области D в виде повторных интегралов
двумя способами. Область D ограничена линиями xy = 4, x= y, x=4.
Ответ.
∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
+==
D
x
xy
y
dxyxfdydxyxfdydyyxfdxdxdyyxf
4
2
4
2
1
4
4
4
2
4
),(),(),(),(.
3.
Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле
∫∫
1
0
),(
y
y
dxyxfdy
. Ответ.
∫∫
x
x
dyyxfdx
2
),(
1
0
.
4.
Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле
∫∫
2
0
2
),(
x
x
dyyxfdx . Ответ.
∫∫∫∫
2
0
4
2
2
2
1
2
1
),(),(
y
y
y
dxyxfdydxyxfdy .
5.
Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле
∫∫
xe
dyyxfdx
ln
01
),( Ответ.
∫∫
1
0
),(
e
e
y
dxyxfdy
.
6.
Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле
∫∫
π
0
sin
0
),(
x
dyyxfdx Ответ.
∫∫
−
1
0
arcsin
arcsin
),(
y
y
dxyxfdy
π
.
7.
Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле
∫∫
−
−1
1
1
0
2
),(
x
dyyxfdx
. Ответ.
∫∫
−
−−
1
0
1
1
2
2
),(
y
y
dxyxfdy .
8.
Вычислить:
∫∫
a
ydyxdx
0
2
0
2
cos
π
. Ответ.
2
2
a
π
.
9.
Вычислить:
()
∫∫
−
3
1
3
x
x
dyyxdx
Ответ.
105
8
112
.
10.
Вычислить:
()
∫∫
+
4
3
2
1
2
yx
dxdy
. Ответ.
24
25
ln
.
11.
Вычислить:
∫∫
+
D
yx
ydxdye cos
sin
, где D: 0 ≤ x ≤ π, 0≤ y ≤ π/2.
Ответ. (
e – 1) (e
π
– 1) .
12.
Вычислить:
∫∫
D
dxdy
y
x
2
, где D ограничена линиями y = x
2
+ 3, y = 4x, x=0.
32
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Записать двойной интеграл от функции f (x,y) по области D в виде повторных интегралов
двумя способами. Область D ограничена линиями x+y=2, x2+y2=4 и расположена в пер-
вой четверти.
2 4− x 2 2 4− y 2
Ответ. ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫ dx ∫ f ( x, y )dy = ∫ dy ∫ f ( x, y )dx .
D 0 2− x 0 2− y
2. Записать двойной интеграл от функции f(x,y) по области D в виде повторных интегралов
двумя способами. Область D ограничена линиями xy = 4, x= y, x=4.
4 x 2 4 4 4
Ответ. ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫ dx ∫ f ( x, y )dy = ∫ dy ∫ f ( x, y )dx + ∫ dy ∫ f ( x, y )dx .
D 2 4 1 4 2 y
x y
3. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле
1 y 1 x
∫ dy ∫ f ( x, y)dx . Ответ. ∫ dx ∫ f ( x, y )dy .
0 y 0 x2
4. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле
2 2x 2 y 4 2
∫ dx ∫ f ( x, y )dy . Ответ. ∫ dy ∫ f ( x, y )dx ∫ dy ∫ f ( x, y )dx .
0 x 0 1 2 1
y y
2 2
5. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле
e ln x 1 e
∫ dx ∫ f ( x, y )dy Ответ. ∫ dy ∫ f ( x, y )dx .
1 0 0 ey
6. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле
π sin x 1 π − arcsin y
∫ dx ∫ f ( x, y )dy Ответ. ∫ dy ∫ f ( x, y )dx .
0 0 0 arcsin y
7. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле
1 1− x 2 1 1− y 2
∫ dx ∫ f ( x, y)dy . Ответ. ∫ dy ∫ f ( x, y )dx .
−1 0 0 − 1− y 2
2π a
2 πa 2
8. Вычислить: ∫ cos xdx ∫ ydy . Ответ.
2
.
0 0
3 x
8
9. Вычислить: ∫ dx ∫ ( x − y )dy Ответ. 112 .
105
1 x3
42
dxdy 25
10. Вычислить: ∫ ∫ (x + y )2 . Ответ. ln
24
.
31
x + sin y
11. Вычислить: ∫∫ e cos ydxdy , где D: 0 ≤ x ≤ π, 0≤ y ≤ π/2.
D
Ответ. (e – 1) (eπ – 1) .
x 2
12. Вычислить: ∫∫ y 2 dxdy , где D ограничена линиями y = x + 3, y = 4x, x=0.
D
