Кратные и криволинейные интегралы. Син Л.И - 30 стр.

                                                                                              30


                                             Криволинейные интегралы первого рода
              19. Вычислить I = ∫ x 2 dl по дуге L плоской кривой y = lnx при 1≤ x≤ 2.
                                                    L
              Решение. По формуле (23) получим

                                                                                                                                                  1 ⎛⎜ 2
                                                                                                                                                       3   3⎞
                                                                                                  (       ) (          ) (             )
              2                               2                                                           1                                3 2
                                                        1     12                      1
   I = ∫x         2
                       1 + ((ln x )′ ) 2 dx = ∫ x 2 1 + 2 dx = ∫ 1 + x 2 2 d 1 + x 2 = 1 + x 2                                             2     = ⎜ 5 + 2 2 ⎟⎟ .
                                                       x      21                      3                                                      1    3
              1                               1                                                                                                      ⎝        ⎠

                                                        (                             )
              20. Вычислить I = ∫ x 2 + y 2 + z 2 dl по одному витку винтовой линии L: x = cos t,
                                                    L
y =sin t, z = t, 0 ≤ t ≤ 2π.
        Решение. По формуле (23) получим

                  ∫ (cos                                ) ((cos t )′ ) + ((sin t )′ ) + 1 dt = ∫ (1 + t )⋅
                  2π                                                              2                   2           2π
                               2
       I=                          t + sin 2 t + t 2 ⋅                                                                   2
                                                                                                                                  sin 2 t + cos 2 t + 1dt =
                  0                                                                                               0

                                                            (        )
                                                    2π
                                                  ⎛ t 3 ⎞ 2π     ⎛      8π 3 ⎞⎟
                           = 2 ∫ 1 + t 2 dt = 2 ⎜ t + ⎟      = 2 ⎜ 2π +         .
                                                  ⎜   3 ⎟⎠ 0     ⎜       3 ⎟⎠
                                 0                ⎝              ⎝
              21. Вычислить I = ∫ ydl по дуге L параболы y2 = 2x от точки А(0,0) до точки В(2,2).
                                                    L
                                                                                                                  1
                                                                                                          1 −2  1
              Решение. Для формулы (22) y =                                               2x , y′ = 2       x =    , a = 0, b = 2.
                                                                                                          2     2x
                                                                                                                                   3
                       2
                                      1     2
                                                          12
                               2 x 1 + dx = ∫ 2 x + 1 dx = ∫ 2 x + 1 d (2 x + 1) =
                                                                                   (2 x + 1)2                                          2       1
                                                                                                                                                 (        )
              I=       ∫              2x                  20                            3
                                                                                                                                           =
                                                                                                                                               3
                                                                                                                                                 5 5 −1 .
                       0                    0                                                                                          0
      22. Найти массу четверти окружности: x = cos t, y = sin t, расположенной в первом
квадранте, если плотность в каждой точке кривой равна квадрату ординаты этой точки.
      Решение. По условию, μ(x,y) = y2 = sin 2 t, dl =                                                        dx 2 + dy 2 = sin 2 t + cos 2 t dt = dt
По формуле (22) имеем
                                                    π /2                                                                           π /2
                                                                                  1π /2                                                          π
                               m = ∫ y 2 dl =                2
                                                        ∫ sin t dt =                 ∫  (1 − cos 2t )dt = 1 ⎛⎜ t − sin 2t ⎞⎟                =        .
                                         L              0
                                                                                  2 0                     2⎝         2 ⎠0                        4

                                             Криволинейные интегралы второго рода

                                             ∫ (x               )             (               )
                                                    2
              23. Вычислить                             − 2 xy dx + y 2 _ 2 xy dy по дуге L параболы y = x2 от точки А(−1,1)
                                             L
до точки В(2,4).
       Решение. Переменная x в данном направлении изменяется от –1 до 2. Вычислим кри-
волинейный интеграл сведением его к определённому:


   ∫ (x                    )         (              )           ∫ (x                      )       (            ) ( ) ∫ (x                                     )
                                                                2                                                        2
          2
              − 2 xy dx + y 2 − 2 xy dy =                                2
                                                                             − 2 x3 dx + x 4 − 2 x3 d x 2 =                   2
                                                                                                                                  − 2 x3 + 2 x5 − 4 x 4 dx =
   L                                                            −1                                                       −1

                   ⎛ x3 x 4 x 6 4 x5 ⎞                           2
                                                                     ⎛ 8 16 64 128 ⎞ ⎛ − 1 1 1 − 4 ⎞
                  =⎜ −     +   −     ⎟                             = ⎜ − +     −   ⎟−⎜    − + −    ⎟ = −9,9.
                   ⎜ 3  2    3   5   ⎟                               ⎝3 2    3   5 ⎠ ⎝ 3 2 3 5 ⎠
                   ⎝                 ⎠                          −1