Кратные и криволинейные интегралы. Син Л.И - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

28
====
∫∫∫∫∫∫∫∫
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
2
1
0
22
1
222
xyzxyz
D
xyz
e
yz
zdzdyydxezdzdyydxdydzezyI
(предлагаем подумать, почему тройной интеграл удобнее представить в виде повторного
именно в этом порядке)
()
∫∫∫ ∫ ∫
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=−=
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
2
1
2
1
212 dy
y
e
y
ydyze
y
yze
y
ydyedzydy
yyzyzyz
()
∫
−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−=−−=
1
0
1
0
2
5211
2
1
2
2
212 eey
y
edyye
yy
.
17. Вычислить объём тела, ограниченного сферой x
2
+y
2
+ z
2
=4 и параболоидом 3z =
x
2
+y
2
.
Решение. Пусть Ω – данное в задаче тело. На рисунке 25,а изображено тело Ω
1
– часть
тела Ω, находящегося в первом октанте. Очевидно, что V(Ω) = 4V(Ω
1
). Найдём проекцию
линии пересечения сферы и параболоида на плоскость xОy. Для этого достаточно из системы
уравнений z
2
=4−(x
2
+y
2
), z
2
=(x
2
+y
2
)/9 исключить переменную z. В результате получим
(
)
(
)
22222
49 yxyx +−=+ , или
(
)
(
)
.0369
22222
=−+++ yxyx Откуда 12
22
−=+ yx и
3
22
=+ yx . Следовательно, уравнением проекции будет окружность 3
22
=+ yx . Согласно
формуле (14) имеем
V(Ω)=V(Ω
1
)
∫∫∫
Ω
=
1
.4 dxdydz
Т.к. проекция данного тела Ω на плоскость xОy есть круг x
2
+y
2
≤ 3, то целесообразно перейти
к цилиндрическим координатам. После преобразований по формулам (16) уравнения окруж-
ности x
2
+ y
2
= 3, параболоида 3z = x
2
+y
2
и сферы x
2
+y
2
+ z
2
=4, соответственно, принимают
Рисунок 25 
                                                                    28

                                                       1        1        1           1   1           1
                                 2 xyz             2            xyz       2                  1 xyz
                     I=   ∫∫∫ 2 y z e dxdydz = 2∫ y dy ∫ zdz ∫ e dx = 2∫ y dy ∫ zdz          yz
                                                                                                e        =
                           D                           0        0        0           0   0           0
(предлагаем подумать, почему тройной интеграл удобнее представить в виде повторного
именно в этом порядке)
                                                           1                         1
                     (             )
            1     1                1                      1                        1
                                         ⎛1          ⎞        ⎛1          ⎞            ⎛1         1     ⎞
        = 2 ∫ ydy ∫ dz e yz − 1 = 2∫ ydy⎜⎜ e yz − z ⎟⎟ = 2∫ y⎜⎜ e yz − z ⎟⎟ dy = 2 ∫ y⎜⎜ e y − 1 − + 0 ⎟⎟dy =
            0     0                0     ⎝y          ⎠0   0 ⎝
                                                               y          ⎠0       0 ⎝
                                                                                        y         y     ⎠

                                                                             1

                                   (           )⎛              ⎞
                               1
                                                        y2          ⎛    1       ⎞
                          = 2 ∫ e − y − 1 dy = 2⎜ e y −
                                       y
                                                           − y ⎟ = 2⎜ e − − 1 − 1⎟ = 2e − 5 .
                                                ⎜       2      ⎟    ⎝    2       ⎠
                              0                 ⎝              ⎠0

             17. Вычислить объём тела, ограниченного сферой x2+y2+ z2=4 и параболоидом 3z =
 2       2
x +y .




                                                               Рисунок 25

         Решение. Пусть Ω – данное в задаче тело. На рисунке 25,а изображено тело Ω1– часть
тела Ω, находящегося в первом октанте. Очевидно, что V(Ω) = 4V(Ω1). Найдём проекцию
линии пересечения сферы и параболоида на плоскость xОy. Для этого достаточно из системы
уравнений z2=4−(x2+y2), z2=(x2+y2)/9 исключить переменную z. В результате получим
(                )         (               )       (           ) (
 x 2 + y 2 2 9 = 4 − x 2 + y 2 , или x 2 + y 2 2 +9 x 2 + y 2 − 36 = 0. Откуда   )
                                                                               x 2 + y 2 = −12 и
x + y = 3 . Следовательно, уравнением проекции будет окружность x 2 + y 2 = 3 . Согласно
    2        2

формуле (14) имеем

                                                   V(Ω)=V(Ω1) = 4 ∫∫∫ dxdydz.
                                                                         Ω1


Т.к. проекция данного тела Ω на плоскость xОy есть круг x2+y2 ≤ 3, то целесообразно перейти
к цилиндрическим координатам. После преобразований по формулам (16) уравнения окруж-
ности x2 + y2 = 3, параболоида 3z = x2+y2 и сферы x2+y2+ z2=4, соответственно, принимают

Страницы