Кратные и криволинейные интегралы. Син Л.И - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

25
y
2
= 4 x + 4, y = 2 – x, найдём точки пересечения линий: (2 − x)
2
= 4x + 4 ⇔ 4 − 4 x+ x
2
= 4x+4
⇔ x
2
−8 x = 0, x
1
=0, x
2
=8, у
1
=2, у
2
=−6. Т.о., линии пересекаются в точках A(0,2), B(8,6). Тогда
D = {(х, у): − 6 ≤ у ≤ 2, (у
2
− 4)/4 ≤ х ≤ 2 − у}. По формуле (7) имеем
∫∫ ∫
−
−
−
−
−
−
===
2
6
2
4/)4(
2
6
2
4/)4(
2
2
)(
y
y
y
y
dyxdxdyDS
∫∫
−−
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−=
2
6
2
6
2
6
32
22
3
64
12
1
2
1
3
4
3
4
4
2 yyydy
y
ydy
y
y
.
11. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией (
х
2
+ у
2
)
2
=а
2
(4х
2
+ у
2
), а>0.
Решение. Очевидно, что кривая симметрична относительно оси
Ох, оси Оу и начала
координат. Перейдём к полярным координатам по формулам (9):
(
)
ϕϕ
22224
sincos4 += rar
⇒
(
)
1cos3
222
+=
ϕ
ar
⇒
1cos3
2
+=
ϕ
ar
.
Построим график кривой (рисунок 22,
б). В силу симметрии, вся площадь S=4S
1
, где
S
1
= S(D
1
), D
1
={(r,
ϕ
): 0 ≤
ϕ
≤ π/2, 0 ≤ r ≤ a
1cos3
2
+
ϕ
}. Следовательно,
=====
∫∫ ∫ ∫ ∫∫∫
+
+
1
2
2
1
2
0
1cos3
0
2
0
1cos3
0
2
2
4444)(
D
a
a
D
r
drdrdrdrddxdyDS
π
ϕ
π
ϕ
ϕϕϕ
=
()
()
=++=+⋅=+
∫∫∫∫∫
2
0
2
2
0
2
0
2
2
0
222
2
0
22
22cos132cos321cos32
π
π
π
π
π
ϕϕϕϕϕϕϕϕ
dadadadada
.
2
5
2sin
2
3
52cos35
2
2
0
2
2
0
2
2
0
2
2
0
2
a
a
adada
πϕϕϕϕϕ
ππ
π
π
=+=+=
∫∫
Рисунок 22 
                                                                     25


y2 = 4 x + 4, y = 2 – x, найдём точки пересечения линий: (2 − x) 2= 4x + 4 ⇔ 4 − 4 x+ x2 = 4x+4




                                                            Рисунок 22

⇔ x2−8 x = 0, x1=0, x2=8, у1=2, у2=−6. Т.о., линии пересекаются в точках A(0,2), B(8,6). Тогда
D = {(х, у): − 6 ≤ у ≤ 2, (у2 − 4)/4 ≤ х ≤ 2 − у}. По формуле (7) имеем

                                             2           2− y                 2       2− y
                                 S ( D) =    ∫ dy ∫                  dx =     ∫x      ( y 2 − 4) / 4
                                                                                                       dy =
                                             −6         2
                                                      ( y − 4) / 4            −6

               2                    2
               ⎛         y2 − 4⎞      ⎛       y2 ⎞
                               ⎟dy = ⎜ 3 − y − ⎟dy = ⎛⎜ 3 y − y 2 − y 3 ⎞⎟ = .
                                                             1      1     2 64
          = ∫ ⎜⎜ 2 − y −       ⎟    ∫ ⎜          ⎟
            −6⎝
                           4 ⎠      −6⎝
                                              4 ⎠     ⎝      2     12 ⎠ −6 3

      11. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией (х2+ у2)2=а2(4х2+ у2), а>0.
      Решение. Очевидно, что кривая симметрична относительно оси Ох, оси Оу и начала
координат. Перейдём к полярным координатам по формулам (9):
                         (                        )                       (
          r 4 = a 2 r 2 4 cos 2 ϕ + sin 2 ϕ ⇒ r 2 = a 2 3 cos 2 ϕ + 1 ⇒ r = a 3 cos 2 ϕ + 1 . )
       Построим график кривой (рисунок 22,б). В силу симметрии, вся площадь S=4S1, где
S1 = S(D1), D1={(r,ϕ): 0 ≤ ϕ ≤ π/2, 0 ≤ r ≤ a 3 cos 2 ϕ + 1 }. Следовательно,
                                                            π                                          π
                                                                     a 3 cos 2 ϕ +1                                a 3 cos 2 ϕ +1
                                                            2                                        r2 2
         S ( D) = 4 ∫∫ dxdy = 4 ∫∫ rdrdϕ = 4 ∫ dϕ                             ∫         rdr = 4 ∫ dϕ                                =
                    D1              D1                      0                 0                 0
                                                                                                     2
                                                                                                                   0
           π                                 π                                π                   π                             π

               (             )
           2                                  2                               2                   2                             2
     = 2a 2 ∫ 3 cos 2 ϕ + 1 dϕ = 2a 2 ⋅ 3 ∫ cos 2 ϕ dϕ + 2a 2 ∫ dϕ = 3a 2 ∫ (1 + cos 2ϕ )dϕ + 2a 2 ∫ dϕ =
           0                                  0                               0                   0                             0

                             π           π                                    π                             π
                             2           2                                    2      3a 2                   2    5
                   = 5a 2 ∫ dϕ + 3a 2 ∫ cos 2ϕdϕ =5a 2ϕ                            +      sin 2ϕ                = π a2.
                             0           0                                    0
                                                                                      2                     0
                                                                                                                 2

Страницы