Кратные и криволинейные интегралы. Син Л.И - 23 стр.

                                                                23

                                                                          2          x                          2         x
                                                                                             x2                                dy
                                                                     I = ∫ dx        ∫           2
                                                                                                     dy = ∫ x 2dx         ∫            =
                                                                          1         1/ x     y                  1       1/ x   y2

                                                                     2                 2         x
                                                                          2⎛ −1⎞              ⎛ −1    ⎞
                                                                 = ∫ x dx ⎜⎜ ⎟⎟      = ∫ x 2dx⎜    + x⎟ =
                                                                   1       ⎝ y ⎠ 1/ x 1       ⎝ x     ⎠


                                                                         (               )
                                                                                   ⎛ x4 x2 ⎞
                                                                    2                                                          2       9
                                                                  = ∫ x 3 − x dx = ⎜   −   ⎟                                       =     .
                                                                                   ⎜ 4   2 ⎟                                           4
                                                                    1              ⎝       ⎠                                  1

                                                           Если применить формулу (7), то вычисления бу-
                                                    дут более громоздкими.

                                                                                                                      xy
            Рисунок 20                                         6. Вычислить I = ∫∫ y 2 cos                               dxdy , где D − об-
                                                                                                         D            2
                                  ласть, ограниченная линиями x=0, y = 2π , y =2x.
      Решение. Найдём абсциссу точки пересечения прямых y=2x и y= 2π : 2π =2x ⇒
x = π 2 . Область интегрирования D изображена на рисунке 20.
                                      D = {(х; y): 0 ≤ y ≤ 2π , 0 ≤ x ≤ y /2}
По формуле (7) имеем
                                  y
                    2π                               2π                       y/2                    2π
                                  2       xy                   2     xy                                              y2
                    ∫    y 2 dy ∫ cos        dx =    ∫    y2     sin                dy = 2           ∫       y sin      dy =
                    0             0
                                          2          0
                                                               y     2 0                             0
                                                                                                                     4

                             2π                                          2π
                                      y 2 ⎛⎜ y 2 ⎞⎟         y2                     ⎛    π        ⎞
                    =4       ∫    sin    d
                                      4 ⎜⎝ 4 ⎟⎠
                                                    = −4cos
                                                            4
                                                                               = −4⎜ cos − cos 0 ⎟ = 4.
                                                                                   ⎝    2        ⎠
                             0                                       0


       7. Вычислить: ∫∫ ( x + y )dxdy , где D − область, ограниченная линиями x=0, y=0, x+y =3.
                          D
      Решение. Предлагаем студенту самостоятельно построить область интегрирования.
Она имеет вид D = {(х; y): 0 ≤ x ≤ 3 , 0≤ y ≤ 3 − x }. Следовательно, по формуле (5) получаем


                                                                              ⎜ x(3 − x ) + (3 − x ) ⎟ dx =
                             3     3− x         3 ⎛ 3− x      3− x    ⎞      3⎛                     2⎞
       ∫∫ ( x + y )dxdy = ∫ dx∫  ( x + y ) dy =   ⎜
                                                ∫⎜ ∫x    dy +  ∫ ⎟
                                                                 ydy  ⎟ dx = ∫⎜
      D                 0     0                 0⎝ 0           0      ⎠      0⎝
                                                                                                2 ⎟⎠
                  3⎛
                                   9          x2 ⎞      ⎛9      x3 ⎞ 3 27 27 18
                = ∫ ⎜ 3 x − x 2 + − 3 x + ⎟ dx =⎜ x − ⎟ =                     −     =      = 9.
                    ⎜              2           2 ⎟⎠     ⎜2       6 ⎟⎠ 0 2        6     2
                  0⎝                                    ⎝
       В некоторых случаях, когда область интегрирования D есть круг, или часть круга, или
когда подынтегральная функция содержит в себе двучлен вида x2+y2, вычисление двойного
интеграла упрощается при переходе к полярным координатам (см. формулы (9) − (12)). При
этом двучлен x2+y2 преобразуется в r2.

       8. Вычислить ∫∫ 4 − x 2 − y 2 dxdy , где S={(x,y): x2+y2≤4, y≥0}.
                         S