Кратные и криволинейные интегралы. Син Л.И - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

20
Решение. Кривая ОА задается уравнением
.40,2 ≤≤= xxy
Положив
4,0,2)(,)(,),(
2
===== baxxhxxgyyxf
,
применим формулу (29), при этом учтем тот факт, что при движении по кривой от точки О
до А переменная x меняется от 0 до 4.
.
3
128
2)4())2(4(
4
0
32
4
0
4
0
2
3
4
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=+=
′
⋅+=+
∫∫∫
xxdxxxdxxxxxdydxy
OA
16) Вычислить
,)(
∫
+−
L
xdydxy
где L − замкнутая кривая ОВАО из рис. 15.
Решение. Кривая L состоит из линий ОВ, ВА и АО. По свойству аддитивности
∫∫∫∫
+−++−++−=+−
LAOBAOB
xdydxyxdydxyxdydxyxdydxy )()()()(
. (32)
Отрезок ОВ задается уравнением у = 0 при 0 ≤ х ≤ 4. Значит, dy = 0.Тогда по формуле (30)
∫∫
=⋅+=+−
4
0
000)( xdxxdydxy
OB
.
Отрезок ВA задается уравнением х = 4 при 0 ≤ у ≤ 4. Тогда dх = 0 и по формуле (31) имеем
16440)()(
4
0
4
0
|
==+⋅−=+−
∫∫
ydyyxdydxy
BA
.
Кривая АО задается уравнением
4
2
yx =
при изменении значения у от 4 до 0. Значит,
()
()
dyydyydx 24
2
=
′
=
и по формуле (31) получаем
3
16
12442
)()(
0
4
0
4
3
0
4
22
=−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−=+−
∫∫∫
y
dy
y
dy
yy
yxdydxy
AO
.
Подставив вычисленные интегралы в (32), получаем
.
3
64
3
16
16)( =+=+−
∫
L
xdydxy
Замечание. По формуле (28) видно, что вычисленный интеграл равен удвоенной
площади области, ограниченной контуром ОВАО.
Р Е Ш Е Н И Я З А Д А Ч
Двойные интегралы
1. Записать двойной интеграл от функции f
(x,y) по области D, ограниченной прямой
y=x и параболой y=x
2
, в виде повторных интегралов двумя способами (по формулам (5) и
(7)). 
                                                          20


             Решение. Кривая ОА задается уравнением y = 2 x , 0 ≤ x ≤ 4. Положив
                          f ( x, y ) = y 2 , g ( x) = x, h( x) = 2 x , a = 0, b = 4 ,
применим формулу (29), при этом учтем тот факт, что при движении по кривой от точки О
до А переменная x меняется от 0 до 4.
                           4                             4                                    4
              2
                                                ′                           ⎛⎜ 2 x 2 + 4 x3 ⎞⎟ = 128 .
          ∫ y   dx + xdy = ∫ ( 4 x + x ⋅ ( 2 x )  ) dx = ∫ ( 4 x + x ) dx =
                                                                             ⎝         3     ⎠0   3
         OA                0                             0
         16) Вычислить ∫ (− y)dx + xdy, где L − замкнутая кривая ОВАО из рис. 15.
                            L
         Решение. Кривая L состоит из линий ОВ, ВА и АО. По свойству аддитивности

                      ∫ (−y)dx + xdy = ∫ (−y)dx + xdy + ∫ (−y)dx + xdy + ∫ (−y)dx + xdy .                (32)
                      L                    OB                  BA                AO
Отрезок ОВ задается уравнением у = 0 при 0 ≤ х ≤ 4. Значит, dy = 0.Тогда по формуле (30)
                                                           4
                                        ∫ (−y)dx + xdy =∫ 0dx + x ⋅ 0 = 0 .
                                       OB                  0
Отрезок ВA задается уравнением х = 4 при 0 ≤ у ≤ 4. Тогда dх = 0 и по формуле (31) имеем
                                                      4
                                                                            4
                                 ∫ (−y)dx + xdy =∫ (− y) ⋅ 0 + 4dy = 4 y |0 = 16 .
                                 BA                   0
Кривая АО задается уравнением x = y 4 при изменении значения у от 4 до 0. Значит,
                                                  2

          ′
     (       )
dx = y 2 4 dy = ( y 2) dy и по формуле (31) получаем
                                           0⎛                                            0
                                         ⎜         y y 2 ⎞⎟      0⎛
                                                                  ⎜   y 2 ⎞⎟        y3           16
                   ∫ ( − y ) dx + xdy = ∫⎜ ( − y )  +
                                                   2 4 ⎟⎠
                                                            dy = ∫⎜ 4 ⎟
                                                                    −        dy = −
                                                                                    12
                                                                                             =
                                                                                                  3
                                                                                                    .
                  AO                    4⎝                       4⎝        ⎠             4
         Подставив вычисленные интегралы в (32), получаем
                                                                    16 64
                                       ∫ (− y)dx + xdy = 16 +        3
                                                                       = .
                                                                        3
                                       L
     Замечание. По формуле (28) видно, что вычисленный интеграл равен удвоенной
площади области, ограниченной контуром ОВАО.




                                        РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
                                            Двойные интегралы
      1. Записать двойной интеграл от функции f (x,y) по области D, ограниченной прямой
y=x и параболой y=x2, в виде повторных интегралов двумя способами (по формулам (5) и
(7)).

Страницы