Кратные и криволинейные интегралы. Син Л.И - 18 стр.

                                                               18


          Определение. Предел lim S x , если он существует, называется криволинейным инте-
                                               δ →0
гралом 2-го рода от функции f (x,y) по кривой L относительно х и обозначается
                                                                                 ∫ f ( x, y)dx = δlim S .
                                                                                 L
                                                                                                  →0
                                                                                                       x    (24)

                                                                    В случае замкнутой кривой L выбирается
                                                             произвольная точка на кривой, которая принима-
                                                             ется за концевые точки А, В, и криволинейный
                                                             интеграл 2-го рода определяется аналогично слу-
                                                             чаю незамкнутой кривой.
                                                                    Теорема (достаточное условие существо-
                                                             вания интеграла). Если функция f (x,y) непрерыв-
                                                             на на кривой L за исключением, быть может, ко-
                                                             нечного числа точек и ограничена на L, то криво-
                                                             линейный интеграл 2-го рода (24) существует.
                                                                    Некоторые свойства криволинейного
                                                             интеграла 2-го рода. Для криволинейных инте-
                      Рисунок 16
                                                             гралов 2-го рода выполняются свойства линей-
                                                             ности и аддитивности (см. аналогичные свойст-
ва для тройного интеграла в п. 10).
       Свойство антиориентированности

                                                ∫ f ( x, y)dx = − ∫ f ( x, y)dx .
                                                AB                  BA
Это свойство связано с тем, что при изменении направления обхода кривой все приращения
Δxi и, следовательно, интегральная сумма Sx изменяют знак.
        Аналогично определяется криволинейный интеграл 2-го рода от функции g(x,y) по
кривой L относительно у
                                                ∫ g ( x, y)dy = δlim S
                                                L
                                                                   →0
                                                                         y   ,                              (25)

                n

где S y =     ∑ g (t , s )Δy
               i =1
                        i       i   i   .

      Пусть на ориентированной кривой L определены две функции f (x, y) и g (x, y). Тогда
сумма интегралов (24) и (25) называется общим криволинейным интегралом 2-го рода от
функций f (x,y) и g (x,y) по кривой L и обозначается
                            ∫ f ( x, y)dx + g ( x, y)dy = ∫ f ( x, y)dx + ∫ g ( x, y)dy.
                            L                                  L                     L
                                                                                                            (26)

          Физический смысл криволинейного интеграла 2-го рода. Пусть
 r
F ( x, y ) = ( f ( x, y ), g ( x, y ) ) − сила, действующая на материальной точку М(x, y) ориентиро-
                                                                r
ванной кривой L. Тогда работа, совершаемая силой F ( x, y ) при перемещении точки М вдоль
ориентированной кривой L, равна
                                            W = ∫ f ( x, y)dx + g ( x, y )dy.                               (27)
                                                    L
       Замечание. Криволинейный интеграл 2-го рода аналогично определяется и для про-
странственной ориентированной кривой.
       Площадь плоской фигуры. Пусть простая замкнутая кривая3 L ориентирована “про-
тив часовой стрелки”, D − область, ограниченная кривой L. Тогда площадь области D равна

3
    Простая замкнутая кривая − это замкнутая кривая без самопересечений.