Кратные и криволинейные интегралы. Син Л.И - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

11
∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
ΩΩΩ
+=+ .),,(),,()),,(),,((
2121
dxdydzzyxfdxdydzzyxfdxdydzzyxfzyxf
2) Аддитивность. Если область Ω разбита на области Ω
1
и Ω
2
, то
∫∫∫∫∫∫∫∫∫
ΩΩΩ
+=
21
),,(),,(),,( dxdydzzyxfdxdydzzyxfdxdydzzyxf
.
3)
Объем V(Ω) кубируемого тела Ω равен
.)(
∫∫∫
Ω
=Ω dxdydzV
(14)
11. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах.
Пусть D
−
проекция тела Ω на плоскость xOy, поверхности z=φ
1
(x, y), z=φ
2
(x, y) огра-
ничивают тело
Ω снизу и сверху соответственно (рис. 8). Это значит, что
Ω = {(x, y, z): (x, y)
∈
D, φ
1
(x, y) ≤ z ≤ φ
2
(x, y)} . Такое тело назовем z-цилиндрическим. Трой-
ной интеграл (13) по
z-цилиндрическому телу Ω вычисляется переходом к повторному инте-
гралу, состоящему из двойного и определенного интегралов:
.),,(),,(
),(
),(
2
1
∫∫∫ ∫∫ ∫
Ω
=
D
yx
yx
dzzyxfdxdydxdydzzyxf
ϕ
ϕ
(15)
В этом повторном интеграле сначала вычисляется внутренний определенный интеграл по
переменной
z, при этом x, y считаются постоянными. Затем вычисляется двойной интеграл от
полученной функции по области
D.
Если
Ω − x-цилиндрическое или y-цилиндрическое тело, то верны соответственно
формулы
Рисунок 8 Рисунок 9 
                                                         11



    ∫∫∫( f ( x, y, z) + f ( x, y, z))dxdydz = ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz + ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz .
     Ω
            1               2
                                                     Ω
                                                              1
                                                                                    Ω
                                                                                        2



         2) Аддитивность. Если область Ω разбита на области Ω 1 и Ω 2, то


                ∫∫∫ f ( x, y, z ) dxdydz = ∫∫∫ f ( x, y, z ) dxdydz + ∫∫∫ f ( x, y, z ) dxdydz .
                Ω                          Ω1                            Ω2
         3) Объем V(Ω) кубируемого тела Ω равен

                                                V (Ω) = ∫∫∫ dxdydz .                               (14)
                                                              Ω


       11. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах.
       Пусть D − проекция тела Ω на плоскость xOy, поверхности z=φ1(x, y), z=φ2(x, y) огра-
ничивают тело Ω снизу и сверху соответственно (рис. 8). Это значит, что
Ω = {(x, y, z): (x, y) ∈ D, φ1(x, y) ≤ z ≤ φ2(x, y)} . Такое тело назовем z-цилиндрическим. Трой-
ной интеграл (13) по z-цилиндрическому телу Ω вычисляется переходом к повторному инте-
гралу, состоящему из двойного и определенного интегралов:




                      Рисунок 8                                                  Рисунок 9

                                                                  ϕ 2 ( x, y )

                         ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz = ∫∫ dxdy ϕ ∫ f ( x, y, z )dz .                   (15)
                          Ω                                   D     1 ( x, y )



В этом повторном интеграле сначала вычисляется внутренний определенный интеграл по
переменной z, при этом x, y считаются постоянными. Затем вычисляется двойной интеграл от
полученной функции по области D.

     Если Ω − x-цилиндрическое или y-цилиндрическое тело, то верны соответственно
формулы

Страницы