Кратные и криволинейные интегралы. Син Л.И - 9 стр.

                                                                     9


лярных координатах из рисунка 5. Поскольку y≤ 0, то D − полукруг из примера 3. Расставим
пределы интегрирования как в этом примере и вычислим:

                                       0           2 cosϕ                                           0       2 cosϕ

        ∫∫       x + y dxdy = ∫ dϕ                     ∫    (r cosϕ) + (r sinϕ) rdr = ∫ dϕ                    ∫ r dr =
                  2   2                                                  2                2                          2

                                          π            0                                                π     0
        D                             −
                                          2
                                                                                                    −
                                                                                                        2

                           2 cos ϕ
            0
               ⎛ r3   ⎞                    8
                                               0
                                                                         8
                                                                             0
       = ∫ dϕ ⎜⎜      ⎟⎟              =        ∫ (cos ϕ ) dϕ =
                                                         3
                                                                             ∫ (1 − sin
                                                                                          2
                                                                                              ϕ )d sin ϕ =
         −
           π   ⎝ 3     ⎠     0
                                           3 π
                                               −
                                                                         3 π
                                                                             −
             2                                     2                             2

                                          0
         8⎛         sin 3 ϕ ⎞   8⎛    π 1     π ⎞ 8 ⎛ 1 ⎞ 16
       = ⎜⎜ sin ϕ −         ⎟⎟ = ⎜ sin − sin 3 ⎟ = ⎜1 − ⎟ = .
        3⎝             3 ⎠ −π 3 ⎝     2 3     2 ⎠ 3 ⎝ 3⎠ 9
                                          2


       7. Вычисление площади фигуры. Площадь плоской квадрируемой фигуры D вычис-
ляется по формуле (3) из пункта 4.

                                     Пример. 5) Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривы-
                                 ми y = x 2 , y = 4, x = 0.
                                        Решение. Данная фигура D расположена в вертикальной по-
                                 лосе 0 ≤ x ≤ 2, а в ней ограничена снизу параболой y = x2, сверху −
                                 прямой y = 4 (рис. 6). По формуле (5) имеем
                                                                                     2                                   2
                                                                 2       4
                                                                                     ⎛         3 ⎞   16
                                     S ( D) = ∫∫ dxdy = ∫ dx ∫ dy = ∫ ( 4 − x ) dx = ⎜ 4 x − x3 ⎟ =
                                                                                                2
                                                                                                        .
                                                        0           0                ⎝           ⎠ 0
                                                                                                      3
                                                       D      2          x
     Рисунок 6

        8. Вычисление объема цилиндрического тела. Если f (x,y) ≥ 0 в ограниченной об-
ласти D, то объем цилиндрического тела (рис.1) вычисляется по формуле (2) пункта 3.
        Пример. 6) Найти объем тела, ограниченного поверхностями
                              z = 0, x2 + y2 = 4, z = x2 + y2 .
                     2  2
        Решение. x + y = 4 − это круговой цилиндр радиуса 2, ось которого совпадает с Оy.
z = x2 + y2 − параболоид, который пересекает цилиндр по окружности радиуса 2 в плоскости z
= 4 (рис. 7а). z=0 − координатная плоскость xOy. Таким образом, тело ограничено сверху па-
раболоидом z = x2 + y2 , снизу − кругом D , с боков − цилиндрической поверхностью
x2 + y2 = 4. Так как данное тело цилиндрическое и z = x2 + y2 ≥ 0, то для вычисления его объе-
ма можно использовать формулу (2)
                                                       V = ∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdy,
                                                             D


где D ={ (x, y) : x2 + y2 ≤ 4, z = 0 } − круг в плоскости xOy (рис 7б). Для вычисления этого инте-
грала перейдем к полярным координатам. При этом круг D преобразуется во множество Dr
={ (r, φ) : 0 ≤ φ < 2π , 0 ≤ r ≤ 2 }. По формуле (12) получим