Кратные и криволинейные интегралы. Син Л.И - 7 стр.

                                                               7

                                1           2                      2       y/2

                                ∫ dx ∫ f ( x, y) dy = ∫ dy
                                0           2x                     0
                                                                           ∫ f ( x, y) dx.
                                                                           0




      2)Вычислить интеграл
                                                      I = ∫∫ ( x 2 y + x ) dxdy ,
                                                           D
                          где D − область из примера 1.
      Решение. Расставим пределы интегрирования в интеграле подобно примеру 1:
                                        1        2
                          I = ∫ dx ∫ ( x 2 y + x) dy.
                                        0        2x
Вычислим внутренний интеграл по переменной y, считая x константой:
         1                          2            1                                           1
              ⎛ y2          ⎞
     I = ∫ dx⎜⎜ x 2   + xy ⎟⎟               = ∫ ( 2 x 2 + 2 x − 2 x 4 − 2 x 2 ) dx = ∫ (2 x − 2 x 4 ) dx.
         0    ⎝     2       ⎠       2x           0                                           0

Теперь вычислим внешний интеграл по x:
                                                                       1
                                                   ⎛ x2 x5 ⎞                 ⎛1 1⎞ 3
                                            I = 2 ⎜⎜ − ⎟⎟                  =2⎜ − ⎟= .
                                                   ⎝ 2   5 ⎠
                                                                       0
                                                                             ⎝2 5⎠ 5

       6. Переход к полярным координатам в двойном интеграле. Полярная система ко-
ординат состоит из луча Or . Любая точка M ≠ O однозначно определяется полярным углом φ
(0 ≤ φ <2π или –π < φ ≤ π) и полярным радиусом r (r≥0) (рис. 4а). Для начала координат O
радиус r = 0, а полярный угол не определен.
       Пусть декартова полуось Ox совпадает с полярным лучом Or (рис.4а).
Декартовы координаты выражаются через полярные по формулам

                                    x = r cos ϕ ,              y = r sin ϕ .                                (9)

Полярные координаты выражаются через декартовы:




                                        Рисунок 4