Кратные и криволинейные интегралы. Син Л.И - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

5
4. Некоторые свойства двойного интеграла.
1) Линейность. Если С – числовая константа, то
∫∫ ∫∫
=
DD
dyxdyxfСdydxyxСf ),(),(
,
∫∫ ∫∫∫∫
+=+
DDD
dydxyxfdydxyxfdydxyxfyxf ),(),()),(),((
2121
.
2) Аддитивность. Если область D “разбита” на области D
1
и D
2
, то
∫∫ ∫∫∫∫
+=
DDD
dydxyxfdydxyxfdydxyxf
21
),(),(),( .
3) Площадь ограниченной области D равна
∫∫
=
D
dxdyDS ,)(
(3)
5. Вычисление двойного интеграла. Пусть область
D = {(x, y): a ≤ x ≤ b, φ
1
(x) ≤ y≤ φ
2
(x)} . (4)
Область D заключена в полосе между прямыми x = a, y = b, снизу и сверху ограничена
соответственно кривыми y = φ
1
(x) и y = φ
2
(x) (рис. 2а).
Двойной интеграл (1) по области D (4) вычисляется переходом к повторному инте-
гралу:
∫∫∫ ∫
=
)(
)(
2
1
),(),(
x
xD
b
a
dyyxfdxdydxyxf
ϕ
ϕ
. (5)
Рисунок 2 
                                                    5

      4. Некоторые свойства двойного интеграла.
      1) Линейность. Если С – числовая константа, то

       ∫∫ Сf ( x , y ) dx dy = С ∫∫         f ( x , y ) d x dy         ,
       D                               D


      ∫∫ ( f1 ( x, y ) +   f 2 ( x, y )) dx dy =   ∫∫ f1 ( x, y ) dx dy + ∫∫ f 2 ( x, y ) dx dy .
       D                                           D                       D

      2) Аддитивность. Если область D “разбита” на области D1 и D2, то

      ∫∫ f ( x, y ) dx dy = ∫∫ f ( x, y ) dx dy + ∫∫ f ( x, y ) dx dy .
      D                       D1                    D2

      3) Площадь ограниченной области D равна

                                           S ( D ) = ∫∫ dxdy ,                                      (3)
                                                        D

      5. Вычисление двойного интеграла. Пусть область

                           D = {(x, y): a ≤ x ≤ b, φ1(x) ≤ y≤ φ2(x)} .                              (4)




                                     Рисунок 2

Область D заключена в полосе между прямыми x = a, y = b, снизу и сверху ограничена
соответственно кривыми y = φ1(x) и y = φ2(x) (рис. 2а).
       Двойной интеграл (1) по области D (4) вычисляется переходом к повторному инте-
гралу:
                                                       b    ϕ 2 ( x)

                            ∫∫ f ( x, y) dx dy = ∫ dx ϕ ∫ f ( x, y) dy .
                             D                         a
                                                                                                    (5)
                                                              1 ( x)

Страницы