Элементы теории случайных процессов. Син Л.И. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

31
26.
,
1
ee
2
C
a
a
x
dxx
axax
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
∫
a ≠ 0.
27.
,
22
ee
32
2
2
C
aa
x
a
x
dxx
axax
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−=
∫
a ≠ 0.
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Сведения из теории вычетов.
1. Вычисление вычетов для полюсов.
Пусть z
0
− простой полюс функции
)(
)(
z
z
ψ
ϕ
, функции
)(),( zz
ψ
ϕ
аналитичны
в точке z
0
и
0)(
0
≠
z
ϕ
. Тогда
0
0
)(
)(
)(
)(
Re
zz
z
z
z
z
z
s
=
′
=
ψ
ϕ
ψ
ϕ
. (1)
Пусть z
0
− полюс второго порядка функции
)(zf
. Тогда
))()((lim)(Re
2
0
0
0
′
−=
→
zfzzzfs
zz
z
. (2)
2. Вычисление несобственных интегралов с помощью вычетов.
Пусть P(z), Q(z) − многочлены от z степени n, m соответственно, причем
m > n + 1. Кроме того, пусть дробь P(z)/Q(z) не имеет особых точек на оси Ох, а
N
zzz ,,,
21
K
− все ее полюса с положительными мнимыми частями. Тогда
)(
)(
Res2
)(
)(
1
zQ
zP
idx
xQ
xP
N
k
k
z
∑
∫
=
=
+∞
∞−
π
, (3)
0,
)(
e)(
Res2
)(
e)(
1
≥=
∑
∫
=
+∞
∞−
a
zQ
zP
idx
xQ
xP
iaz
N
k
z
iax
k
π
. (4)
Замечание. При m > n + 1 формула (3) является частным случаем форму-
лы (4) при a = 0. Однако при a > 0 формула (4) верна и при m > n. 
                                                   31



                   ⎛x 1 ⎞
      ∫ xe
         dx = e ax ⎜ − 2 ⎟ + C ,
             ax
26.                                                                           a ≠ 0.
                   ⎝a a ⎠
                  ax ⎛ x    2x 2 ⎞
                         2

27. ∫ x e dx = e ⎜⎜        − 2 + 3 ⎟⎟ + C ,
       2 ax
                                                                              a ≠ 0.
                     ⎝ a a      a ⎠


                                                                       ПРИЛОЖЕНИЕ 2

                              Сведения из теории вычетов.

      1. Вычисление вычетов для полюсов.
                                       ϕ ( z)
      Пусть z0 − простой полюс функции        , функции ϕ ( z ), ψ ( z ) аналитичны
                                       ψ ( z)

в точке z0 и ϕ ( z 0 ) ≠ 0 . Тогда

                                    ϕ ( z) ϕ ( z)
                              Res          =                     .                 (1)
                               z0   ψ ( z ) ψ ′( z )    z = z0

      Пусть z0 − полюс второго порядка функции f (z ) . Тогда

                       Res f ( z ) = lim (( z − z 0 ) 2 f ( z )) ′ .               (2)
                        z0            z → z0



      2. Вычисление несобственных интегралов с помощью вычетов.
       Пусть P(z), Q(z) − многочлены от z степени n, m соответственно, причем
m > n + 1. Кроме того, пусть дробь P(z)/Q(z) не имеет особых точек на оси Ох, а
z1 , z 2 , K , z N − все ее полюса с положительными мнимыми частями. Тогда

                         +∞                  N
                             P( x)                  P( z )
                         ∫−∞ Q( x) dx = 2πi ∑   Res
                                            k =1 k Q( z )
                                                 z
                                                           ,                       (3)

                  +∞
                     P( x) e iax           N
                                                 P( z ) e iaz
                   ∫             dx = 2πi ∑ Res               , a ≥ 0.             (4)
                  −∞ Q ( x )                      Q( z )
                                               z
                                          k =1 k


     Замечание. При m > n + 1 формула (3) является частным случаем форму-
лы (4) при a = 0. Однако при a > 0 формула (4) верна и при m > n.

Страницы