Прикладные математические пакеты: Maple. Часть 1. Син Л.И. - 11 стр.

                                                    11

     3.3. Решение матричных уравнений
     Пусть дано матричное уравнение AX=B, где A – квадратная матрица размер-
ности n ≥ 1, B – матрица размерности n×k, X – неизвестная матрица размерности
n×k. Пусть A – невырожденная матрица (т.е. det(A) ≠ 0), тогда существует един-
ственное решение этого уравнения. Решение можно найти по формуле X=A–1B
     Пример. Найти решение матричного уравнений AХ=В, где
                                 ⎡1   2 2⎤        ⎡ 10 0 ⎤
                                 ⎢
                              A = −1 −1 3 ⎥ , B = ⎢− 2 5⎥ .
                                 ⎢        ⎥       ⎢       ⎥
                                 ⎢⎣ 2 5 0⎥⎦       ⎢⎣ 1 4 ⎥⎦
     Сначала зададим матрицы A, B:
> A:= matrix(3, 3, [1, 2, 2, -1, -1, 3, 2, 5, 0]); B:=matrix(3, 2, [10, 0, -2, 5, 1, 4]);
Проверим существование и единственность решения:
> det(A); результат на экране         –9. Матрица A невырожденная, значит, решение
существует и единственно. Найдем его:
> A1:=inverse(A); – вычисляет обратную матрицу A1 матрицы A (можно еще
A1:=evalm(1/A);)
                              ⎡ 5    − 10   − 8⎤
                              ⎢ 3     9      9 ⎥
                              ⎢− 2    4      5 ⎥
Результат на экране:    A1 := ⎢                 ⎥
                              ⎢ 3     9      9 ⎥
                              ⎢ 1     1     − 1⎥
                              ⎢⎣ 3    9      9 ⎥⎦
> X:=multiply(A1, B); – находит решение уравнения АХ=В.
                             ⎡     − 82 ⎤
                             ⎢18    9 ⎥
Результат на экране:         ⎢      40 ⎥
                        X := ⎢ − 7      ⎥
                             ⎢       9 ⎥
                             ⎢ 3     1 ⎥
                             ⎢⎣      9 ⎥⎦
    Аналогично решается матричное уравнение XA=B, где A – квадратная мат-
рица размерности n ≥ 1, B – матрица размерности k×n, X – неизвестная матрица
размерности k×n. Если A – невырожденная матрица, то существует единственное
решение X=BA–1.
    Пример. Найти решение X матичного уравнений XA=C, где матрица А из
                           ⎡10 0 − 2⎤
предыдущей задачи, С = ⎢                ⎥.
                           ⎣5 1 4 ⎦
> A:= matrix(3,3, [1,2,2,-1,-1,3, 2,5,0]); С:=matrix(2,3, [10,0,-2,5,1,4]);
> A1:=inverse(C); – вычисляет обратную матрицу A1 матрицы A.
> X:=multiply(C, A1); – находит решение уравнения XА=C.
                        ⎡   − 34 − 26 ⎤
                        ⎢16   3    3 ⎥
Решение на экране: X := ⎢
                            − 14 − 13 ⎥
                        ⎢9            ⎥
                        ⎣    3    3 ⎦
    В общем случае (когда A – вырожденная матрица, или A – не квадратная
матрица) матричное уравнение АХ=В можно решить при помощи функции