Решение задач оптимального управления с использованием математической системы MATLAB и пакета имитационного моделирования SIMULINK. Сивохин А.В - 149 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

149
В качестве прототипа рассмотрим объект управления, который описывается
дифференциальным уравнением
,u
k
x
x
T
⋅
=
+⋅
&&&
(7.1)
где T и k – положительные постоянные. Требуется перевести объект из
положения
0=x
,
0
=
x
&
при
0=t
в положение
n
xx
=
,
0
=
x
&
за минимальное время
при ограничении скорости
max
xx
&&
≤
. На управляющее воздействие наложено
ограничение
u
u
max
≤ . Известно, что алгоритм управления должен состоять из
интервала разгона, когда
max
uu += , интервала, на котором
u
пропорционально
скорости ограничения
max
x
&
, а скорость движения равна
max
x
&
, и интервала
торможения, на котором
max
uu −= . Определить время разгона t
1
, время движения с
постоянной скоростью
t
2
, время торможения
3
t , оптимальный переходной
процесс
()
tx
r
= (x
1
(t), x
2
(t)) и время перехода
3214
tttt
+
+
=
. По точкам построить
графики
x
1
(t) и x
2
(t). Для этого интервал времени от 0 до t
1
, от t
1
до
21
tt + , от
21
tt
+
до
321
ttt ++
разделить на 5 равных частей и вычислить значения
x
1
(t) и x
2
(t) в
соответствующих точках. В точках
1
tt
=
и
21
ttt
+
=
x
1
(t) и x
2
(t) должны
рассчитываться дважды по разным формулам и эти значения должны совпадать.
Прежде чем приступить к поиску оптимального решения, необходимо
оценить характеристики объекта и устойчивость его состояния.
Передаточная и частотная функции объекта имеют вид:
,
)1(
1
)(
+
=
Tpp
pK
(7.2)
.
)1(
1
)(
+
=
ωω
ω
Tii
iK
(7.3)
Функция переходной проводимости объекта находится как решение
дифференциального уравнения (7.1) при толчкообразном внешнем воздействии
).(1 txxT
=
+
&&&
(7.4)
Используя прямое и обратное преобразование Лапласа, получаем
,)(
T
t
TetTt
−
++−=Λ (7.5)
или
)1()( −+=Λ
−
T
t
eTtt (7.6)
Функция веса объекта получается путем дифференцирования функции
переходной проводимости и имеет вид
.1)(
T
t
etW
−
−= (7.7)
Реакция объекта на синусоидальное возмущающее воздействие
определяется путем решения дифференциального уравнения
tAxxT
00
sin
ω
=
+
&&&
(7.8)
и имеет следующее аналитическое выражение: 
       В качестве прототипа рассмотрим объект управления, который описывается
дифференциальным уравнением
                             T ⋅ &x& + x& = k ⋅ u,                              (7.1)
где T и k – положительные постоянные. Требуется перевести объект из
положения x = 0 , x& = 0 при t = 0 в положение x = xn , x& = 0 за минимальное время
при ограничении скорости x& ≤ x& max . На управляющее воздействие наложено
ограничение u ≤ u max . Известно, что алгоритм управления должен состоять из
интервала разгона, когда u = +u max , интервала, на котором u пропорционально
скорости ограничения x& max , а скорость движения равна x& max , и интервала
торможения, на котором u = −u max . Определить время разгона t1, время движения с
постоянной скоростью t2 , время торможения t 3 , оптимальный переходной
             r
процесс x (t ) = (x1(t), x2(t)) и время перехода t 4 =t 1 +t 2 + t 3 . По точкам построить
графики x1(t) и x2(t). Для этого интервал времени от 0 до t1, от t1 до t1 + t 2 , от t1 + t 2
до t1 + t 2 + t 3 разделить на 5 равных частей и вычислить значения x1(t) и x2(t) в
соответствующих точках. В точках t = t1 и t = t1 + t 2 x1(t) и x2(t) должны
рассчитываться дважды по разным формулам и эти значения должны совпадать.
       Прежде чем приступить к поиску оптимального решения, необходимо
оценить характеристики объекта и устойчивость его состояния.
       Передаточная и частотная функции объекта имеют вид:
                                            1
                              K ( p) =             ,                           (7.2)
                                         p(Tp + 1)

                                                   1
                                  K (iω ) =                .                       (7.3)
                                              iω (Tiω + 1)
     Функция переходной проводимости объекта находится как решение
дифференциального уравнения (7.1) при толчкообразном внешнем воздействии

                                           T&x& + x& = 1(t ).                      (7.4)


      Используя прямое и обратное преобразование Лапласа, получаем
                                                                   t
                                                               −
                                  Λ (t ) = −T + t + Te             T
                                                                       ,           (7.5)
      или
                                                          t
                                                      −
                                  Λ (t ) = t + T (e       T
                                                              − 1)(7.6)
     Функция веса объекта получается путем дифференцирования функции
переходной проводимости и имеет вид
                                                          t
                                                      −
                                    W (t ) = 1 − e .      T
                                                                                   (7.7)

     Реакция объекта на синусоидальное возмущающее воздействие
определяется путем решения дифференциального уравнения
                                     T&x& + x& = A0 sin ω 0 t                      (7.8)
и имеет следующее аналитическое выражение:
                                                  149

Страницы