Решение задач оптимального управления с использованием математической системы MATLAB и пакета имитационного моделирования SIMULINK. Сивохин А.В - 151 стр.

                                                T ⋅ &x&1 + x&1 = k ⋅ u max .
Общим решением этого уравнения является функция
                                                                ⎛ t⎞
                        x1 (t ) = k ⋅ u max ⋅ t + c1 + c 2 ⋅ exp⎜ − ⎟ .        (7.16) Для
                                                                ⎝ T⎠
определения c1 и c 2 используем начальные условия: x1 (0) = 0 ; x&1 (0) = 0 . Так как
                                                 c        ⎛ t⎞
                         x1 (t ) = k ⋅ u max − 2 ⋅ exp⎜ − ⎟ ,                     (7.17) то
                                                 T        ⎝ T⎠
получим следующую систему уравнений:
                                  ⎧с1 + с2 = 0,
                                  ⎪
                                  ⎨             c2
                                  ⎪⎩k ⋅ u max − T = 0.
Решая полученную систему, найдем c1 = −k ⋅ u max ⋅ T ; c2 = k ⋅ u max ⋅ T . Подставляя эти
значения в (7.16) и (7.17) получим:
                                                                   ⎛    ⎛ t⎞ ⎞
                        x1 (t ) = k ⋅ u max ⋅ t + k ⋅ u max ⋅ T ⋅ ⎜⎜ exp⎜ − ⎟ − 1⎟⎟ , (7.18)
                                                                   ⎝    ⎝ T⎠ ⎠
                                                             ⎛ t⎞
                    x&1 (t ) = k ⋅ u max − k ⋅ u max ⋅ exp⎜ − ⎟` .                    (7.19)
                                                             ⎝ T⎠
Определим время разгона объекта t1 из условия: x&1 (t1 ) = x& max . В нашем случае
                                                                        ⎛ t ⎞
уравнение          имеет        вид          k ⋅ u max − k ⋅ u max ⋅ exp⎜ − 1 ⎟ = x& max ;   отсюда     следует
                                                                        ⎝ T⎠
               ⎛ t⎞
k ⋅ u max ⋅ exp⎜ − ⎟ = k ⋅ u max − x& max . Тогда
               ⎝ T⎠
                                               ⎛    x&     ⎞
                                  t1 = −T ⋅ ln⎜⎜1 − max ⎟⎟ .                                          (7.20) Для
                                               ⎝ k ⋅ u max ⎠
наших исходных данных t1 = −0.62 ⋅ ln⎛⎜1 −                         ⎞
                                                             0.4
                                                                   ⎟ = 0.9691 .
                                                    ⎝ 0.0023 ⋅ 220 ⎠
     Теперь найдем время торможения объекта. На третьем участке, а уравнение
(7.1) будет иметь вид:
                       T ⋅ &x&1 + x&1 = −k ⋅ u max .                   (7.21)
Общим решением этого уравнения является функция
                                                                ⎛ t⎞
                      x1 (t ) = −k ⋅ u max ⋅ t + c 3 + c 4 ⋅ exp⎜ − ⎟ .          (7.22) В
                                                                ⎝ T⎠
формуле (7.22) будем считать, что (0 ≤ t ≤ t 3 ) . При расчете x1 (t ) на всем интервале
управления будем учитывать путь, пройденный на первых двух участках.
Начальными условиями для уравнения (7.21) будут x1 (0) = 0 ; x&1 (0) = x& max . Так как
                                                                 c4      ⎛ t⎞
                                      x&1 (t ) = − k ⋅ u max −      ⋅ exp⎜ − ⎟ ,                          (7.23)
                                                                 T       ⎝ T⎠
то для определения постоянных интегрирования                                       c3 и c 4 имеем следующую
систему уравнений
                           ⎧c3 + c4 = 0,
                           ⎪
                           ⎨               c4
                           ⎪⎩− k ⋅ u max − T = x& max .

                                                           151