Решение задач оптимального управления с использованием математической системы MATLAB и пакета имитационного моделирования SIMULINK. Сивохин А.В - 152 стр.

Решая систему, находим c3 = T ⋅ (k ⋅ u max + x& max ) , c4 = −T ⋅ (k ⋅ u max + x& max ) . Подставляя
найденные значения в формулы (7.22) и (7.23), получим
                                                                        ⎛       ⎛ t ⎞⎞
                x1 (t ) = − k ⋅ u max ⋅ t + T ⋅ (k ⋅ u max + x& max ) ⋅ ⎜1 − exp⎜ − ⎟ ⎟ ,      (7.24)
                                                                        ⎝       ⎝  T ⎠ ⎠
                                                                            ⎛ t⎞
                        x&1 (t ) = − k ⋅ u max + (k ⋅ u max + x& max ) ⋅ exp⎜ − ⎟ .                                  (7.25)
                                                                            ⎝ T⎠
       Найдем время торможения объекта из условия x&1 (t 3 ) = 0 .                                          Из уравнения
(7.25) имеем
                                                                ⎛ t ⎞
                       − k ⋅ u max + (k ⋅ u max + x& max ) ⋅ exp⎜ − 3 ⎟ = 0 .
                                                                ⎝ T⎠
                   ⎛ t ⎞           k ⋅ u max
Отсюда получаем exp⎜ − 3 ⎟ =                    , а тогда
                   ⎝ T ⎠ k ⋅ u max + x& max
                                 ⎛ k ⋅ u max + x& max ⎞
                    t 3 = T ⋅ ln⎜⎜                    ⎟⎟ .                                                       (7.26) Для
                                 ⎝      k ⋅ u max      ⎠
                                                     0.0023 ⋅ 220 + 0.4 ⎞
наших исходных данных имеем t 3 = 0.62 ⋅ ln⎛⎜                           ⎟ = 0.3612 .
                                                   ⎝ 0.0023 ⋅ 220 ⎠
       По формуле (7.18) найдем путь, пройденный объектом во время разгона
                                               ⎡          ⎛    ⎛ t ⎞ ⎞⎤
                                s1 = k ⋅ u max ⎢t1 + T ⋅ ⎜⎜ exp⎜ − 1 ⎟ − 1⎟⎟⎥ .                                      (7.27)
                                               ⎣          ⎝    ⎝ T ⎠ ⎠⎦
Подставим в формулу (32) исходные и найденные данные
                 ⎡                ⎛ −0.9691 ⎞⎤
s1 = 0.0023 ⋅ 220⎢0.9691 + 0.62 ⋅ ⎜ e 0.62 − 1⎟⎥ = 0.2424 .
                 ⎣                ⎝           ⎠⎦
      По формуле (7.24) найдем путь, пройденный объектом за время торможения
                                                                              ⎛       ⎛ t     ⎞⎞
                        s 3 = −k ⋅ u max ⋅ t 3 + T ⋅ (k ⋅ u max + x& max ) ⋅ ⎜⎜1 − exp⎜ − 3   ⎟ ⎟⎟ .                 (7.28)
                                                                              ⎝       ⎝ T     ⎠⎠
    Для наших данных получим
                                                            ⎛     −0.3612
                                                                          ⎞
s3 = −0.0023 ⋅ 220 ⋅ 0.3612 + 0.62 ⋅ (0.0023 ⋅ 220 + 0.4) ⋅ ⎜1 − e 0.62 ⎟ = 0.0653 . Путь, пройденный
                                                            ⎝             ⎠
на втором участке
                               s 2 = x n − s1 − s3 .                                                                 (7.29)
Подставляя              исходные                   и              полученные                           данные,      имеем
s 2 = 2.09 − 0.2424 − 0.0653 = 1.7824 .
Время движения объекта на втором участке управления
                                      s2
                               t2 =        .                                  (7.30) Для
                                    x& max
                               1.7824
наших данных              t2 =           = 4.4559 . Общее время оптимального управления
                                 0.4
t 4 = t1 + t 2 + t 3 . В нашем случае t 4 = 0.9691 + 4.4559 + 0.3612 = 5.4250 .
     На втором участке уравнение (20) будет иметь вид:
                                  x&1 = k ⋅ u ,                               (7.31)
так как здесь &x&1 = 0 . Но на этом участке x&1 = x& max . Тогда управление на этом
участке

                                                            152