Решение задач оптимального управления с использованием математической системы MATLAB и пакета имитационного моделирования SIMULINK. Сивохин А.В - 150 стр.

                   A0ω 0 T    T3       −
                                         t
                                              1                       1                       1
         x(t ) =        ( 2 −        e   T
                                           −       (                        e − iω 0 t +              e iω 0t )).   (7.9)
                    T ω 0 (1 + k 0 T
                                 2 2
                                             2ω 02                      1                         1
                                                               − iω 0 +                    iω 0 +
                                                                        T                         T
     Рассмотрим порядок вывода этого выражения.
     Используя преобразования Лапласа при нулевых начальных условиях,
получаем
                                          Aω
                  (Tp 2 + p ) ⋅ x( p) = 2 0 0 2 .               (7.10)
                                         p + ω0
 Отсюда находим изображение регулируемой величины
                                            A0ω 0
                           x( p ) =                           .     (7.11)
                                     p (Tp + 1)( p 2 + ω 02 )
     Корни характеристического уравнения легко находятся и равны: p1 = 0 ;
         1
p2 = −     ; p3 = −iω 0 ; p1 = iω 0 .
         T
                   Разложим дробь на простейшие дроби:
                             1                                   A     B      C        D
                                                           =        +      +       +         .                        (7.12)
                     1
     ( p − 0)( p − (− ))( p − (−iω 0 ))( p − iω 0 )            p − 0 p + 1 p + iω 0 p − iω 0
                     T                                                   T
 Приведя это уравнение к общему знаменателю и отбросив его, получим:
              1                                              1                       1
     A( p +     )( p 2 + ω 02 ) + Bp( p 2 + ω 02 ) + Cp ( p + )( p − iω 0 ) + Dp( p + )( p + iω 0 ) = 1 . (7.13)
              T                                              T                       T




         Подставим в это уравнение корни и найдем коэффициенты разложения:

                                              T                       T3
                                        A=            ; B=−                  ;
                                             ω 02         1 + ω 0T 2
                                                         1
                                             D=−                  ;                                                   (7.14)
                                                               1
                                                 2ω 02 (iω 0 + )
                                                              T
                                                       1          .
                                    C=−
                                                        1
                                             2ω (−iω 0 + )
                                                  2
                                                  0
                                                        T
                Переходя с помощью таблиц от изображения к оригиналу, получаем следующее
выражение для вынужденных колебаний объекта:
                                           ⎛                ⎞
            ⎛ A0ω 0 ⎞⎛ T    T 3 ⎞ −T ⎜                      ⎟
                                       t
                                                            ⎟⎛⎜ ω 0 sin ω 0 t + cos ω 0 t ⎞⎟
                                                    1                          1
    x(t ) = ⎜       ⎟⎜⎜ 2 −        ⎟
                               2 2 ⎟
                                     e   − ⎜                                                 (7.15)
            ⎝ T ⎠⎝ ω 0 1 + ω 0 T ⎠         ⎜ ω 2 (ω 2 + 1 ) ⎟⎝                 T           ⎠
                                           ⎜ 0 0            ⎟
                                           ⎝           T2 ⎠

        Теперь необходимо найти алгоритм оптимального управления. Расчеты
произвести для следующих данных: T = 0.62 ; k = 0.0023 ;             u max = 220 ; x n = 2.09 ;
x& max = 0.4 .
      Обозначим x1 (t ) = x(t ), x2 (t ) = x&1 (t ). На первом участке (0 ≤ t ≤ t1 ) u = u max .
Уравнение (20) имеет вид

                                                                150