Решение задач оптимального управления с использованием математической системы MATLAB и пакета имитационного моделирования SIMULINK. Сивохин А.В - 167 стр.

Найдем t 2 из первого и второго уравнений системы, а затем их приравняем.
Последовательно получаем

                           ⎧               ⎛ t2 ⎞ ⎛          ⎛ t1 ⎞ ⎞         ⎛ t1 ⎞
                           ⎪(1 + z ) ⋅ exp⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ 2 − exp⎜⎜ − ⎟⎟ ⎟⎟ ⋅ exp⎜⎜ ⎟⎟ ,
                           ⎪               ⎝ T1 ⎠ ⎝          ⎝ T1 ⎠ ⎠         ⎝ T1 ⎠
                           ⎨                                                                                           (8.36)
                           ⎪               ⎛ t2 ⎞ ⎛           ⎛ t1 ⎞ ⎞         ⎛ t1 ⎞
                           ⎪(1 + z ) ⋅ exp⎜⎜ T ⎟⎟ = ⎜ 2 − exp⎜⎜ − T ⎟⎟ ⎟ ⋅ exp⎜⎜ T ⎟⎟ ,
                                                    ⎜                  ⎟
                           ⎩               ⎝ 2⎠ ⎝             ⎝ 2 ⎠⎠           ⎝ 2⎠

                           ⎧ ⎛ t2 ⎞    1 ⎛⎜          ⎛t ⎞ ⎞
                           ⎪exp⎜⎜ ⎟⎟ =   ⋅ ⎜ 2 ⋅ exp⎜⎜ 1 ⎟⎟ − 1⎟⎟ ,
                           ⎪ ⎝ T1 ⎠ 1 + z ⎝          ⎝ T1 ⎠ ⎠
                           ⎨                                                                                           (8.37)
                           ⎪ ⎛ t2 ⎞    1 ⎛⎜          ⎛ t1 ⎞ ⎞
                            exp ⎜  ⎟ =
                           ⎪ ⎜ T ⎟ 1+ z ⎜ ⋅   2 ⋅ exp⎜⎜ ⎟⎟ − 1⎟ ,
                                                                 ⎟
                           ⎩ ⎝ 2⎠           ⎝         ⎝ T2 ⎠ ⎠


                           ⎧              ⎡ 1 ⎛                 ⎛ t ⎞ ⎞⎤
                           ⎪t 2 = T1 ⋅ ln ⎢        ⋅ ⎜⎜ 2 ⋅ exp⎜⎜ 1 ⎟⎟ − 1⎟⎟⎥ ,
                           ⎪              ⎣⎢1 + z ⎝             ⎝ T1 ⎠ ⎠⎦⎥
                           ⎨                                                                                           (8.38)
                           ⎪               ⎡ 1 ⎛                ⎛ t1 ⎞ ⎞⎤
                            t
                           ⎪2   = T  ⋅ ln  ⎢       ⋅  ⎜ 2 ⋅ exp ⎜⎜ ⎟⎟ − 1⎟⎟⎥ .
                                   2
                                             1 + z    ⎜
                           ⎩               ⎣⎢         ⎝          ⎝ T2 ⎠ ⎠⎦⎥

Приравняв правые части последней системы, получим нелинейное уравнение
относительно t1 :
                               ⎡ 1 ⎛               ⎛ t ⎞ ⎞⎤                ⎡ 1 ⎛               ⎛t     ⎞ ⎞⎤
             F (t1 ) = T1 ⋅ ln ⎢      ⋅ ⎜⎜ 2 ⋅ exp⎜⎜ 1 ⎟⎟ − 1⎟⎟⎥ − T2 ⋅ ln ⎢      ⋅ ⎜⎜ 2 ⋅ exp⎜⎜ 1    ⎟⎟ − 1⎟⎥ = 0 .
                                                                                                            ⎟                   (8.39)
                               ⎢⎣1 + z ⎝           ⎝ T1 ⎠ ⎠⎥⎦              ⎢⎣1 + z ⎝           ⎝ T2    ⎠ ⎠⎥⎦

Уравнение (8.39) решаем на компьютере методом половинного деления. Для
наших исходных данных получаем t1 = 1.3990 . Тогда t 2 = 1.4187 . Значения x(t ) и
x& (t ) можно записать в виде

        ⎧             ⎛       T1            ⎛ t ⎞       T2         ⎛ t ⎞⎞
        ⎪k ⋅ u max ⋅ ⎜⎜1 +            ⋅ exp⎜⎜ − ⎟⎟ +         ⋅ exp⎜⎜ − ⎟⎟ ⎟⎟ ,               при 0 ≤ t ≤ t1 ,
        ⎪             ⎝ T2 − T1             ⎝ T1 ⎠ T1 − T2         ⎝ T2 ⎠ ⎠
x(t ) = ⎨
        ⎪                 x n + k ⋅ u max ⎛         ⎛t −t ⎞           ⎛ t2 − t ⎞⎞                                      (8.40)
                                          ⎜ T1 ⋅ exp⎜ 2                          ⎟
        ⎪− k ⋅ u max + T − T              ⎜         ⎜ T ⎟⎟ − T2 ⋅ exp⎜⎜ T ⎟⎟ ⎟ ,            при t1 ≤ t ≤ t 2 ,
        ⎩                     1      2    ⎝         ⎝   1  ⎠          ⎝    2   ⎠ ⎠

          ⎧ k ⋅ u max ⎛        ⎛ t ⎞         ⎛ t ⎞⎞
          ⎪           ⋅ ⎜⎜ exp⎜⎜ − ⎟⎟ − exp⎜⎜ − ⎟⎟ ⎟⎟ ,      при 0 ≤ t ≤ t1 ,
          ⎪ T1 − T2 ⎝          ⎝ T1 ⎠        ⎝ T2 ⎠ ⎠
x& (t ) = ⎨
          ⎪ x n + k ⋅ u max ⎛⎜    ⎛ t2 − t ⎞     ⎛ t2 − t ⎞⎞                                                           (8.41)
                                  ⎜        ⎟     ⎜        ⎟⎟
          ⎪ T −T             ⎜ exp⎜ T ⎟ − exp⎜ T ⎟ ⎟ , при t1 ≤ t ≤ t 2 .
          ⎩      2      1    ⎝    ⎝    1   ⎠     ⎝     2  ⎠⎠




                                                                 167