Решение задач оптимального управления с использованием математической системы MATLAB и пакета имитационного моделирования SIMULINK. Сивохин А.В - 165 стр.

                                                  c3       ⎛ t ⎞ c          ⎛ t             ⎞
                                    x& (t ) = −      ⋅ exp⎜⎜ − ⎟⎟ − 4 ⋅ exp⎜⎜ −             ⎟⎟ .                        (8.25)
                                                  T1       ⎝ T1 ⎠ T2        ⎝ T2             ⎠

Для определения постоянных интегрирования c3 и c 4 используем условия
x(t 2 ) = x n , x& (t 2 ) = 0. Тогда получим следующую систему


                                  ⎧                       ⎛ t2 ⎞                ⎛ t2 ⎞
                                  ⎪− k ⋅ u max + c3 ⋅ exp⎜⎜ − ⎟⎟ + c4 ⋅ exp⎜⎜ − ⎟⎟ = xn ,
                                  ⎪                       ⎝ T1 ⎠                ⎝ T2 ⎠
                                  ⎨                                                                                     (8.26)
                                  ⎪− c3 ⋅ exp⎛⎜ − t 2 ⎞⎟ − c4 ⋅ exp⎛⎜ − t 2 ⎞⎟ = 0.
                                  ⎪ T          ⎜ T ⎟ T              ⎜ T ⎟
                                  ⎩ 1          ⎝ 1⎠         2       ⎝ 2⎠

Второе уравнение умножим на T1 . Тогда систему можно переписать в виде

                                 ⎧         ⎛ t2 ⎞              ⎛ t2 ⎞
                                 ⎪c3 ⋅ exp⎜⎜ − ⎟⎟ + c4 ⋅ exp⎜⎜ − ⎟⎟ = xn + k ⋅ u max ,
                                 ⎪         ⎝ T1 ⎠              ⎝ T2 ⎠
                                 ⎨                                                                                      (8.27)
                                 ⎪− с ⋅ exp⎛⎜ − t 2 ⎞⎟ − с ⋅ T1 ⋅ exp⎛⎜ − t 2 ⎞⎟ = 0.
                                 ⎪ 3         ⎜ T ⎟ 4 T                ⎜ T ⎟
                                 ⎩           ⎝ 1⎠             2       ⎝ 2⎠

Сложив            эти            уравнения               после            небольших                преобразований,               найдем
       (x n + k ⋅ u max ) ⋅ T2   ⎛ t ⎞
с4 =                       ⋅ exp⎜⎜ − 2 ⎟⎟ . Затем из второго уравнения системы имеем
        T2 − T1                  ⎝ T2 ⎠
    (x + k ⋅ u max ) ⋅ T1       ⎛ t ⎞
с3 = n                    ⋅ exp⎜⎜ − 2 ⎟⎟ . Подставляя найденные значения c3 и c 4 в формулы
        T1 − T2                 ⎝ T1 ⎠
(8.24) и (8.25), получим

                                                x n + k ⋅ u max       ⎛          ⎛ t −t ⎞              ⎛ t − t ⎞⎞
                     x(t ) = −k ⋅ u max +                          ⋅ ⎜⎜ T1 ⋅ exp⎜⎜ − 2   ⎟⎟ − T2 ⋅ exp⎜⎜ − 2   ⎟⎟ ⎟ ,
                                                                                                                  ⎟               (8.28)
                                                   T1 − T2            ⎝          ⎝    T1 ⎠             ⎝   T 2 ⎠⎠

                                                 x n + k ⋅ u max       ⎛     ⎛ t −t ⎞         ⎛ t − t ⎞⎞
                                    x& (t ) =                       ⋅ ⎜⎜ exp⎜⎜ − 2   ⎟⎟ − exp⎜⎜ − 2   ⎟⎟ ⎟ .
                                                                                                         ⎟                        (8.29)
                                                    T2 − T1            ⎝     ⎝    T1 ⎠        ⎝   T 2 ⎠⎠



Теперь определим моменты переключения управления t1 и t 2 . Для этого
применим метод стыкования функций. В точке t = t1 функции x(t ) и x& (t ) должны
быть непрерывны. Приравняем значения x(t ) , найденные по формулам (8.21) и
(8.28), а также значения x& (t ) , найденные по формулам (8.22) и (8.29), в точке t = t1 ,
получим следующую систему




                                                                         165