Решение задач оптимального управления с использованием математической системы MATLAB и пакета имитационного моделирования SIMULINK. Сивохин А.В - 164 стр.

        1                       1 .
r =−T
 1
            ,   r   2   =−               Общим             решением              однородного             уравнения     является
        1                      T
                                2
                        ⎛  t ⎞              ⎛ t         ⎞
функция с1 ⋅ exp⎜⎜ −         ⎟⎟ + с 2 ⋅ exp⎜⎜ −         ⎟⎟ .Частным решением неоднородного уравнения
                        ⎝ T1 ⎠              ⎝ T2         ⎠
является величина k ⋅ u                      max       . Тогда общим решением уравнения (8.16) будет
функция

                                                                      ⎛ t ⎞              ⎛ t       ⎞
                                         x(t ) = k ⋅ u max + c1 ⋅ exp⎜⎜ − ⎟⎟ + c 2 ⋅ exp⎜⎜ −       ⎟⎟ .                     (8.18)
                                                                      ⎝ T1 ⎠             ⎝ T2       ⎠

 Постоянные интегрирования c1 и c 2 определим из начальных условий:                                                        x = 0,
x& = 0 . Так как

                                                     c1       ⎛ t ⎞ c          ⎛ t         ⎞
                                       x& (t ) = −      ⋅ exp⎜⎜ − ⎟⎟ − 2 ⋅ exp⎜⎜ −         ⎟⎟ ,                   (8.19)
                                                     T1       ⎝ T1 ⎠ T2        ⎝ T2         ⎠

то получим следующую систему:

                                        ⎧k ⋅ u max + c1 + c 2 = 0 ,
                                        ⎪
                                        ⎨ c1 c 2                                                                  (8.20)
                                        ⎪ − T − T = 0.
                                        ⎩ 1         2



                                                     k ⋅ umax ⋅ T1                  k ⋅ u max ⋅ T2
Решая систему, получим c1 =                                        ,         c2 =                  . Подставляя эти значения
                                                       T2 − T1                        T1 − T2
в формулы (8.18) и (8.19), получим

                                                 ⎛         T1         ⎛ t ⎞     T2          ⎛ t          ⎞⎞
                            x(t ) = k ⋅ u max ⋅ ⎜⎜1 +           ⋅ exp⎜⎜ − ⎟⎟ +        ⋅ exp⎜⎜ −          ⎟⎟ ⎟ ,
                                                                                                            ⎟               (8.21)
                                                 ⎝ T2 − T1            ⎝ T1 ⎠ T1 − T2        ⎝ T2          ⎠⎠
                                         k ⋅ u max ⎛         ⎛ t ⎞        ⎛ t ⎞⎞
                               x& (t ) =            ⋅ ⎜⎜ exp⎜⎜ − ⎟⎟ − exp⎜⎜ − ⎟⎟ ⎟⎟ .                             (8.22)
                                         T1 − T2 ⎝           ⎝ T1 ⎠       ⎝ T2 ⎠ ⎠

На втором этапе управления уравнение (8.1) будет иметь вид

                                T1T2 &x& + (T1 + T2 ) ⋅ x& + x = − k ⋅ u max ,                                              (8.23)

Общим решением этого уравнения является функция
                                                                     ⎛ t ⎞              ⎛ t       ⎞
                                      x(t ) = −k ⋅ u max + c 3 ⋅ exp⎜⎜ − ⎟⎟ + c 4 ⋅ exp⎜⎜ −       ⎟⎟ .                      (8.24)
                                                                     ⎝ T1 ⎠             ⎝ T2       ⎠

Тогда


                                                                       164