Решение задач оптимального управления с использованием математической системы MATLAB и пакета имитационного моделирования SIMULINK. Сивохин А.В - 162 стр.

                           ⎧      1
                           ⎪ x& =    (x1 − x ) = f1 (x, x1 , t , u ),
                           ⎪      T2
                           ⎨                                                                                (8.7)
                           ⎪ x& = 1 (ku − x ) = f ( x, x , t , u ).
                           ⎪⎩ 1 T1            1      2       1




   Для решения поставленной задачи применим метод максимума Понтрягина.
Составим систему уравнений для вспомогательных функций

                                            ⎧&         ∂H
                                            ⎪⎪ψ 1 = − ∂x ,
                                             ⎨                                                                       (8.8)
                                             ⎪ψ& 2 = − ∂H .
                                             ⎪⎩        ∂x1

Функция Гамильтона H (x, x1 , t , u ) = ψ 1 ⋅ f 1 + ψ 2 ⋅ f 2 . В нашем случае

                                                     1                      1
                       H ( x, x1 , t , u ) = ψ 1 ⋅      ⋅ ( x1 − x ) + ψ 2 ⋅ ⋅ (ku − x1 ) .                (8.9)
                                                     T2                     T1

        ∂H   ψ    ∂H ψ 1 ψ 2
Тогда      =− 1 ,    =  −    . В этом случае система (8.8) запишется в виде
        ∂x   T2   ∂x1 T2 T1
                                          ⎧      ψ1
                                            ψ  =
                                          ⎪ 1 T ,
                                             &
                                          ⎪       2
                                          ⎨                                                                         (8.10)
                                          ⎪ψ& = ψ 2 − ψ 1 .
                                          ⎪⎩ 2 T1 T2
                                                                                              ⎛ t    ⎞
Из первого уравнения системы (8.10) находим ψ 1 (t ) = c 0 ⋅ exp⎜⎜                                   ⎟⎟ . Тогда второе
                                                                                              ⎝ T2    ⎠
уравнение системы (8.10) можно записать в виде

                                       ψ2            c0       ⎛ t    ⎞
                              ψ& 2 −         =−         ⋅ exp⎜⎜      ⎟⎟ .                                 (8.11)
                                       T1            T2       ⎝ T2    ⎠

Соотношение (8.11) является линейным неоднородным дифференциальным
уравнением. Его общее решение состоит из суммы общего решения
соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного
                                                                                                          ⎛ t ⎞
уравнения. Общее решение однородного уравнения равно c1 ⋅ exp⎜⎜                                                ⎟⎟ . Частное
                                                                                                          ⎝ T1 ⎠
                                                 ⎞       ⎛ t
решение будем искать в виде: Α ⋅ exp⎜⎜           ⎟⎟ . Подставляя эту функцию в уравнение
                                                  ⎠      ⎝ T2
                     Α       ⎛ t ⎞ Α      ⎛ t ⎞       c    ⎛ t ⎞
(8.11), получим        ⋅ exp⎜⎜ ⎟⎟ − ⋅ exp⎜⎜ ⎟⎟ = − 0 ⋅ exp⎜⎜ ⎟⎟ . Тогда из этого уравнения
                   T2        ⎝ T2 ⎠ T1    ⎝ T2 ⎠      T2   ⎝ T2 ⎠
             T −T          c                                                 c ⋅T
следует Α ⋅ 1 2 = − 0 . Из последнего уравнения находим Α = 0 1 . Общим
             T1 ⋅ T2       T2                                                T2 − T1

                                                            162