Решение задач оптимального управления с использованием математической системы MATLAB и пакета имитационного моделирования SIMULINK. Сивохин А.В - 163 стр.

                                                                                                 ⎛ t ⎞ c 0 T1         ⎛ t    ⎞
решением уравнения (8.11) является функция ψ 2 (t ) = c1 ⋅ exp⎜⎜                                      ⎟⎟ +      ⋅ exp⎜⎜      ⎟⎟ .
                                                                                                 ⎝ T1 ⎠ T2 − T1       ⎝ T2    ⎠
Функция Гамильтона имеет вид

                     c0                 ⎛      ⎞ ku − x1     ⎛         ⎛ ⎞ cT           ⎛         ⎞⎞
               Η=       (x1 − x ) ⋅ exp⎜⎜ t    ⎟⎟ +          ⎜ c1 ⋅ exp⎜ t ⎟ + 0 1 ⋅ exp⎜ t
                                                             ⎜         ⎜T ⎟ T −T        ⎜T        ⎟⎟ ⎟ .
                                                                                                     ⎟      (8.12)
                     T2                 ⎝ T2    ⎠   T1       ⎝         ⎝ 1⎠ 2 1         ⎝ 2        ⎠⎠

Рассмотрим слагаемое Η , которое зависит от u .
                                                                                  ku ⎛⎜          ⎛ t ⎞ cT         ⎛ t    ⎞⎞
                                                                          Η∗ =          c1 ⋅ exp⎜⎜ ⎟⎟ + 0 1 ⋅ exp⎜⎜      ⎟⎟ ⎟ .
                                                                                      ⎜                                     ⎟
                                                                                  T1 ⎝           ⎝ T1 ⎠ T2 − T1   ⎝ T2    ⎠⎠
                                   (8.13)

                            c 0 T1              ku ⎛         ⎛ t ⎞            ⎛ t                ⎞⎞
Обозначим c 2 = −                  . Тогда Η ∗ = ⎜⎜ c1 ⋅ exp⎜⎜ ⎟⎟ − c 2 ⋅ exp⎜⎜                  ⎟⎟ ⎟ . В таком случае
                                                                                                    ⎟
                           T2 − T1              T1 ⎝         ⎝ T1 ⎠           ⎝ T2                ⎠⎠
             ku max          ⎛ t ⎞ cT         ⎛ t            ⎞
max Η ∗ =           c1 ⋅ exp⎜⎜ ⎟⎟ + 0 1 ⋅ exp⎜⎜              ⎟⎟ .     Управление         определяется          формулой
              T1             ⎝ T1 ⎠ T2 − T1   ⎝ T2            ⎠
              ⎛          ⎛ t ⎞            ⎛ t    ⎞⎞
u (t ) = sign⎜⎜ c1 ⋅ exp⎜⎜ ⎟⎟ − c 2 ⋅ exp⎜⎜      ⎟⎟ ⎟ ⋅ u max , где
                                                    ⎟
              ⎝          ⎝ T1 ⎠           ⎝ T2    ⎠⎠

                                             ⎧ 1, при x > 0,
                                             ⎪
                                 sign( x ) = ⎨ 0, при x = 0,                                                (8.14)
                                             ⎪− 1, при x < 0.
                                             ⎩

                             ⎛ t ⎞            ⎛ t     ⎞
Функция             c1 ⋅ exp⎜⎜ ⎟⎟ − c 2 ⋅ exp⎜⎜       ⎟⎟ меняет знак не более одного раза. Поэтому
                             ⎝ T1 ⎠           ⎝ T2     ⎠
управление задается формулой

                                         ⎧u max , при 0 ≤ t < t1 ,
                                u (t ) = ⎨                                                                  (8.15)
                                         ⎩− u max , при t1 < t ≤ t 2 .

где t1 - время переключения управления, t 2 - время оптимального управления.
    Теперь найдем траекторию оптимального процесса и моменты переключения
управления. На первом интервале управления уравнение (8.1) имеет вид

                                        T1T2 &x& + (T1 + T2 ) ⋅ x& + x = k ⋅ u max ,    (8.16)
    Это линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами.
Соответствующее линейное однородное уравнение будет таким

                                   T1T2 &x& + (T1 + T2 ) ⋅ x& + x = 0 .                                    (8.17)

Характеристическое уравнение T1T2 r 2 + (T1 + T2 ) ⋅ r + 1 = 0 имеет корни:

                                                                163