Решение задач оптимального управления с использованием математической системы MATLAB и пакета имитационного моделирования SIMULINK. Сивохин А.В - 166 стр.

 ⎧             ⎛        T1           ⎛ t ⎞          T2          ⎛ t ⎞⎞
 ⎪k ⋅ u max ⋅ ⎜⎜1 +            ⋅ exp⎜⎜ − 1 ⎟⎟ +           ⋅ exp⎜⎜ − 1 ⎟⎟ ⎟⎟ =
 ⎪             ⎝ T2 − T1             ⎝ T1 ⎠ T1 − T2             ⎝ T2 ⎠ ⎠
 ⎪
 ⎪                                                x + k ⋅ u max ⎛              ⎛t −t ⎞                  ⎛ t − t ⎞⎞
 ⎨                               = −k ⋅ u max + n                ⋅ ⎜⎜ T1 ⋅ exp⎜⎜ 2 1 ⎟⎟ − T2 ⋅ exp⎜⎜ 2 1 ⎟⎟ ⎟⎟ ,(8.30)
 ⎪                                                  T1 − T2         ⎝          ⎝ T1 ⎠                   ⎝ T2 ⎠ ⎠
 ⎪
 ⎪ k ⋅ u max ⋅ ⎛⎜ exp⎛⎜ − t1 ⎞⎟ − exp⎛⎜ − t1 ⎞⎟ ⎞⎟ = x n + k ⋅ u max ⋅ ⎛⎜ exp⎛⎜ t 2 − t1 ⎞⎟ − exp⎛⎜ t 2 − t1 ⎞⎟ ⎞⎟ .
 ⎪ T1 − T2 ⎜          ⎜ T ⎟            ⎜ T ⎟⎟           T2 − T1         ⎜     ⎜ T ⎟               ⎜ T ⎟⎟
 ⎩              ⎝     ⎝ 1⎠             ⎝ 2 ⎠⎠                           ⎝     ⎝ 1 ⎠               ⎝ 2 ⎠⎠

    Из второго уравнения системы находим

x n + k ⋅ u max       ⎛ t − t ⎞ x + k ⋅ u max       ⎛ t − t ⎞ k ⋅ u max                  ⎛     ⎛ t ⎞          ⎛ t     ⎞⎞
                ⋅ exp⎜⎜ 2 1 ⎟⎟ = n            ⋅ exp⎜⎜ 2 1 ⎟⎟ −                        ⋅ ⎜⎜ exp⎜⎜ − 1 ⎟⎟ − exp⎜⎜ − 1   ⎟⎟`⎟
                                                                                                                         ⎟
   T2 − T1            ⎝ T2 ⎠       T2 − T1          ⎝ T1 ⎠ T1 − T2                       ⎝     ⎝ T1 ⎠         ⎝ T2     ⎠⎠
                                                                                                                 (8.31)

Подставим это значение в первое уравнение и раскроем скобки:

                   k ⋅ u max       ⎛ t ⎞ k ⋅ u max ⋅ T2       ⎛ t         ⎞
 2 ⋅ k ⋅ u max +             ⋅ exp⎜⎜ − 1 ⎟⎟ +           ⋅ exp⎜⎜ − 1       ⎟⎟ =
                   T2 − T1         ⎝ T1 ⎠     T1 − T2         ⎝ T2         ⎠
        (x n + k ⋅ u max ) ⋅ T1         ⎛ t − t ⎞ (x + k ⋅ u max ) ⋅ T2        ⎛t −t ⎞
    =                             ⋅ exp⎜⎜ 2 1 ⎟⎟ + n                     ⋅ exp⎜⎜ 2 1 ⎟⎟ −
              T1 − T2                   ⎝ T1 ⎠        T2 − T1                  ⎝ T1 ⎠
                                                      k ⋅ u max ⋅ T2         ⎛ t ⎞ k ⋅ u max ⋅ T2       ⎛ t           ⎞
                                                    −                 ⋅ exp⎜⎜ − 1 ⎟⎟ +            ⋅ exp⎜⎜ − 1         ⎟⎟ .
                                                        T1 − T2              ⎝ T1 ⎠     T1 − T2         ⎝ T2           ⎠
                                                                                                                 (8.32)

Выполнив некоторые упрощения, получим
                                                         ⎛ t ⎞                                ⎛t −t ⎞
                         2 ⋅ k ⋅ u max − k ⋅ u max ⋅ exp⎜⎜ − 1 ⎟⎟ = ( x n + k ⋅ u max ) ⋅ exp⎜⎜ 2 1 ⎟⎟ .         (8.33)
                                                         ⎝ T1 ⎠                               ⎝ T1 ⎠
                                                                                                                                xn
Все члены последнего уравнения разделим на k ⋅ u max и, обозначив                                                                      = z,
                                                                                                                             k ⋅ u max
получим следующую систему уравнений:
   ⎧              ⎛ t 2 − t1 ⎞         ⎛ t1 ⎞
   ⎪(1 + z ) ⋅ exp⎜
                  ⎜ T ⎟      ⎟ +   exp ⎜⎜ − ⎟⎟ − 2 = 0,
   ⎪              ⎝ 1 ⎠                 ⎝ T1 ⎠
   ⎨                                                                                                   (8.34)
   ⎪− (1 + z ) ⋅ exp⎛⎜ t 2 − t1 ⎞⎟ + (1 + z ) ⋅ exp⎛⎜ t 2 − t1 ⎞⎟ − exp⎛⎜ − t1 ⎞⎟ + exp⎛⎜ − t1 ⎞⎟ = 0.
   ⎪                 ⎜ T ⎟                          ⎜ T ⎟               ⎜ T ⎟           ⎜ T ⎟
   ⎩                 ⎝ 1 ⎠                          ⎝ 2 ⎠               ⎝ 1⎠            ⎝ 2⎠

Сложив уравнения, получим

                              ⎧               ⎛ t 2 − t1 ⎞         ⎛ t ⎞
                              ⎪(1 + z ) ⋅ exp⎜⎜           ⎟⎟ + exp⎜⎜ − 1 ⎟⎟ − 2 = 0,
                              ⎪               ⎝ T1 ⎠               ⎝ T1 ⎠
                              ⎨                                                                                  (8.35)
                              ⎪(1 + z ) ⋅ exp⎛⎜ t 2 − t1 ⎞⎟ + exp⎛⎜ − t1 ⎞⎟ − 2 = 0.
                              ⎪               ⎜ T ⎟                ⎜ T ⎟
                              ⎩               ⎝ 2 ⎠                ⎝ 2⎠
                                                                  166