Решение задач оптимального управления с использованием математической системы MATLAB и пакета имитационного моделирования SIMULINK. Сивохин А.В - 181 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

181
(
9.44
)
(
9.45
)
(
9.46
)
(
9.47
)
(
9.48
)
(
9.49
)
(
9.50
)
(
9.51
)
Взяв интеграл и выполнив некоторые преобразования, получим первое уравнение
.aa 301122
10
−
=
+
Аналогично
[]
()
[]
()
.66
)(323)(2
2
1
}
{
43
1
0
323
1
2
010
22
1010
1
dxxx
xxxaxaaxaxxxaxaaa
da
d
−+
+−−−++−−−+=
∫
ϕ
После преобразований получим второе уравнение
.aa 1266077
10
−
=
+
Решая систему уравнений, находим
.a,a
43
42
423
417
10
−=−=
Тогда второе приближение будет таким
()
.xxx)x(y −
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
2
1
43
42
473
417
В таком случае
()
()
.xxxx)x('y
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−+−=
43
42
473
417
12
43
42
2
1
Значение функционала
()
[]
()
∫
−≈++
′
=
1
0
1
2
1
2
11
.730641,012 dxxyyyxyv
В нашем случае
(
)
[
]
(
)
[
]
(
)
[
]
,
01
xyxyxyv
ν
ν
<
<
что подтверждает правильность решения задачи.
Ниже приведено решение задачи с помощью MATLAB, построены графики
функций
)(,)(,)(
10
xyxyxy , а также графики функций
,)x(y)x(y)x(z
01
−=
.)x(y)x(y)x(z
12
−=
9.3 Программная реализация аналитических моделей
function TrueEvaluation
%-- Вычисление точного значения функционала
%
syms x yx Dyx JFunc
yx=sym('6*sinh(x)/sinh(1)-6*x') %-- определение экстремали
% функционала;
Dyx=sym('6*cosh(x)/sinh(1)-6') %-- определение производной от
% экстремали функционала;
JFunc=Dyx^2+yx^2+12*x*yx %-- определение подынтегрального
% выражения функционала;
J=int(JFunc,x,0,1) %-- нахождение функционала в 
Взяв интеграл и выполнив некоторые преобразования, получим первое уравнение
                                                                22a0 + 11a1 = −30 .
         Аналогично                                                                                                                     (9.44)
1 dϕ
               [                               ](                ) [                                        ](
           1
     = ∫{ a0 + 2(a1 − a0 ) x − 3a1 x 2 2 x − 3x 2 + a0 x + (a1 − a0 ) x 2 − a1 x 3 x 2 − x 3 +
2 da1 0
                                                                                                                    )
                                                                                                                 + 6 x 3 − 6 x 4}dx .   (9.45)
После преобразований получим второе уравнение
                                                                 77a 0 + 60a1 = −126 .                                                  (9.46)
Решая систему уравнений, находим
                                                                         417          42
                                                             a0 = −          , a1 = −    .                                              (9.47)
                                                                         423          43
Тогда второе приближение будет таким
                                                      ⎛ 417 42 ⎞ 2
                                           y1 ( x ) = ⎜    +  x⎟ x − x .       (         )                                              (9.48)
                                                      ⎝ 473 43 ⎠
В таком случае
                                            y'1 ( x ) =
                                                            42 2
                                                            43
                                                                 (         )    ⎛ 417 42 ⎞
                                                               x − x + (2 x − 1)⎜    +  x⎟.                                             (9.49)
                                                                                ⎝ 473 43 ⎠
Значение функционала
                                                        (                          )
                                                    1
                                     v[ y1 ( x )] = ∫ y1′ + y1 + 12 xy1 dx ≈ −0,730641.                                                 (9.50)
                                                            2        2

                                                    0

В нашем случае
                                                            v[ y ( x )] < ν [ y1 ( x )] < ν [ y 0 ( x )],                               (9.51)
что подтверждает правильность решения задачи.
    Ниже приведено решение задачи с помощью MATLAB, построены графики
функций y ( x) , y 0 ( x) , y1 ( x) , а также графики        функций
z1 ( x ) = y( x ) − y 0 ( x ) , z 2 ( x ) = y( x ) − y1 ( x ) .




                     9.3 Программная реализация аналитических моделей

function TrueEvaluation
%-- Вычисление точного значения функционала
%
syms x yx Dyx JFunc
yx=sym('6*sinh(x)/sinh(1)-6*x') %-- определение экстремали
                                % функционала;
Dyx=sym('6*cosh(x)/sinh(1)-6')  %-- определение производной от
                                % экстремали функционала;
JFunc=Dyx^2+yx^2+12*x*yx        %-- определение подынтегрального
                                % выражения функционала;
J=int(JFunc,x,0,1)              %-- нахождение функционала в

                                                                         181

Страницы