ВУЗ:
Составители:
180
(
9.30
)
(
9.31
)
(
9.32
)
(
9.33
)
(
9.34
)
(
9.35
)
(
9.36
)
(
9.37
)
(
9.38
)
(
9.39
)
(
9.40
)
(
9.41
)
(
9.42
)
(
9.43
)
()
[]
()
∫
−≈++
′
=
1
0
22
.730730,012 dxxyyyxyv
Теперь найдем первое приближение точного решения. Его будем искать в
виде
(
)
.xxa)x(y
2
00
−=
Тогда
(
)
.xa)x('y 21
00
−
=
В таком случае
()
[]
()
() ()
()
()
∫
=−+−+−=
1
0
0
2
0
2
2
2
0
22
00
.1221 adxxxxaxxaxaxyv
ϕ
Чтобы найти минимум
()
0
a
ϕ
возьмем производную и приравняем ее к нулю.
Производную возьмем под знаком интеграла. Имеем
()
() ()
()
∫
−+−+−=
′
1
0
2
2
2
0
2
00
122212 .dxxxxxxaxa)a(
ϕ
После преобразований получим
()()
∫
−++−++−=
′
1
0
32
0
243
0
1212281024 .dxxxaxxxx)a(
ϕ
Взяв интеграл и приравняв его нулю, получим
()
.a)a( 03424
3
10
1
5
2
00
=−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−+−=
′
ϕ
Отсюда находим
.a
11
15
0
−=
Тогда
.)x()x('y,)xx()x(y 12
11
15
11
15
0
2
0
−=−−=
()
[]
()
∫
−≈++
′
=
1
0
0
2
0
2
00
.681818,012 dxxyyyxyv
Теперь найдем второе приближение точного решения. Будем его искать в
виде
(
)
(
)
.xxxaa)x(y
2
101
−+=
Раскроем скобки и приведем подобные члены
(
)
.xaxaaxa)x(y
3
1
2
0101
−−+=
Тогда
(
)
.xaxaaa)x('y
2
10101
32 −−+=
Функционал будет иметь вид
()
[]
[][]
[]
.),()(12
)(3)(2
10
3
1
2
010
2
1
0
3
1
2
010
2
2
10101
}
{
aadxxaxaaxax
xaxaaxaxaxaaaxy
ϕ
ν
=−−++
+−−++−−+=
∫
Чтобы найти минимум
)a,a(
10
ϕ
, возьмем частные производные по
10
и aa и
приравняем их к нулю. Решая полученную систему, определим
10
и aa :
[]
()
[]
()
.66)(213)(2
2
1
1
0
3223
1
2
010
2
1010
0
}{ dxxxxxxaxaaxaxxaxaaa
da
d
∫
−+−−−++−−−+=
ϕ
1
v[ y ( x )] = ∫ ( y ′ 2 + y 2 + 12 xy )dx ≈ −0,730730 . (9.30)
0
Теперь найдем первое приближение точного решения. Его будем искать в
виде
y0 ( x ) = a0 x − x 2 . ( ) (9.31)
Тогда
y' 0 ( x ) = a0 (1 − 2 x ) . (9.32)
В таком случае
( )
1
v[ y 0 ( x )] = ∫ a 0 (1 − 2 x ) + a 0 (x − x 2 ) + 12a 0 x (x − x 2 ) dx = ϕ (a 0 ). (9.33)
2 2 2 2
0
Чтобы найти минимум ϕ (a0 ) возьмем производную и приравняем ее к нулю.
Производную возьмем под знаком интеграла. Имеем
( )
1
ϕ ′( a0 ) = ∫ 2a0 (1 − 2 x )2 + 2a0 (x − x 2 ) + 12 x(x − x 2 ) dx . (9.34)
2
0
После преобразований получим
1
ϕ ′( a 0 ) = ∫ ((− 4 x 3 + 2 x 4 + 10 x 2 − 8 x + 2)a 0 + 12 x 2 − 12 x 3 )dx . (9.35)
0
Взяв интеграл и приравняв его нулю, получим
⎛2 10 ⎞
ϕ ′( a 0 ) = ⎜ − 1 + − 4 + 2 ⎟a 0 + (4 − 3) = 0 . (9.36)
⎝5 3 ⎠
15
Отсюда находим a0 = − .
11
Тогда
15 15
y0 ( x ) = − ( x − x 2 ) , y' 0 ( x ) = ( 2 x − 1 ) . (9.37)
11 11
( )
1
v[ y 0 (x )] = ∫ y 0′ + y 0 + 12 xy 0 dx ≈ −0,681818 .
2 2
(9.38)
0
Теперь найдем второе приближение точного решения. Будем его искать в
виде
y1 ( x ) = (a 0 + a1 x ) x − x 2 . ( ) (9.39)
Раскроем скобки и приведем подобные члены
y1 ( x ) = a 0 x + (a1 − a 0 )x 2 − a1 x 3 . (9.40)
Тогда
y'1 ( x ) = a 0 + 2(a1 − a 0 )x − 3a1 x 2 . (9.41)
Функционал будет иметь вид
2
ν [ y1 ( x )] = ∫{ [a 0 + 2(a1 − a 0 ) x − 3a1 x ] + [a x + (a ]
1
2 2
0 1 − a 0 ) x − a1 x
2 3
+
0
(9.42)
[
+ 12 x a 0 x + (a1 − a 0 ) x − a1 x 2 3
]}dx = ϕ (a 0 , a1 ) .
Чтобы найти минимум ϕ ( a0 , a1 ) , возьмем частные производные по a0 и a1 и
приравняем их к нулю. Решая полученную систему, определим a0 и a1 :
1 dϕ
[ ] [ ](
1
= ∫{ a0 + 2(a1 − a0 ) x − 3a1 x 2 (1 − 2 x ) + a0 x + (a1 − a0 ) x 2 − a1 x 3 x − x 2 + 6 x 2 − 6 x 3}dx .
2 da0 0
) (9.43)
180
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 178
- 179
- 180
- 181
- 182
- …
- следующая ›
- последняя »
