Решение задач оптимального управления с использованием математической системы MATLAB и пакета имитационного моделирования SIMULINK. Сивохин А.В - 179 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

179
(
9.17
)
(
9.18
)
(
9.19
)
(
9.20
)
(
9.21
)
(
9.22
)
(
9.23
)
(
9.24
)
(
9.25
)
(
9.26
)
(
9.27
)
(
9.28
)
(
9.29
)
Построим графики функций y(x), y
0
(x) и y
1
(x),а также вычислим v[y(x)], v[y
0
(x)] и
v[y
1
(x)], где y(x) – точное решение задачи.
Сначала найдем точное решение задачи.
Функция
)x(y
должна
удовлетворять уравнению Эйлера
.F
dx
d
F
'yy
0=−
В нашем случае
".2,'2',122,12),,(
22
yF
dx
d
yFxyFxyyyyyxF
yyy
==+=++
′
=
′
Тогда уравнение Эйлера будет иметь вид
.xy"y 6
=
−
Запишем уравнение в следующем виде
."yxy 02122
=
−
+
Это линейное неоднородное уравнение. Его общее решение состоит из
суммы общего решения соответствующего однородного уравнения и частного
решения неоднородного уравнения. Однородное уравнение имеет вид
.y"y 0
=
−
Характеристическое уравнение
01
2
=−r
имеет корни
.1,1
21
−=
=
rr
Общее решение
однородного уравнения будет таким:
.ececy
xx −
+=
211
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде
.Axy
=
2
Подставляя это значение в неоднородное уравнение, получим:
.xx 6
=
−
Α
Тогда
.xy, 66
2
−=−=
Α
Таким образом, общее решение неоднородного уравнения принимает вид:
.xecec)x(y
xx
6
21
−+=
−
Используя краевые условия, получим следующую систему уравнений для
определения
21
и cс
.ecec)(y
,cc)(y
061
00
1
21
21
=−+=
=
+
=
−
Решая полученную систему, находим
.
sh
c,
sh
с
1
3
1
3
21
−==
Тогда
(
)
.xee
sh
)x(y
xx
6
1
3
−−=
−
Учитывая, что
,shx
ee
xx
=
−
−
2
получим
.x
sh
shx
)x(y 6
1
6
−=
В таком случае
.
sh
chx
)x('y 6
1
6
−=
С помощью MATLAB находим 
Построим графики функций y(x), y0(x) и y1(x),а также вычислим v[y(x)], v[y0(x)] и
v[y1(x)], где y(x) – точное решение задачи.
      Сначала найдем точное решение задачи. Функция y( x ) должна
удовлетворять уравнению Эйлера
                                                         d
                                                  Fy −      Fy' = 0.                                          (9.17)
                                                         dx
В нашем случае
                                                                                                 d
          F ( x, y, y ′) = y ′ 2 + y 2 + 12 xy,          Fy = 2 y + 12 x,       F ' y = 2 y' ,      Fy = 2 y". (9.18)
                                                                                                 dx
Тогда уравнение Эйлера будет иметь вид
                                                   y" − y = 6 x .                                             (9.19)
Запишем уравнение в следующем виде
                                                  2 y + 12 x − 2 y" = 0.
                                                                (9.20)
     Это линейное неоднородное уравнение. Его общее решение состоит из
суммы общего решения соответствующего однородного уравнения и частного
решения неоднородного уравнения. Однородное уравнение имеет вид
                                                  y" − y = 0.
Характеристическое уравнение r 2 − 1 = 0 имеет корни r1 = 1, r2 = −1. Общее (9.21)
                                                                            решение
однородного уравнения будет таким:
                            y1 = c1e x + c 2 e − x .                       (9.22)
     Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде y 2 = Ax.
Подставляя это значение в неоднородное уравнение, получим: − Αx = 6 x. Тогда
Α = −6 , y 2 = −6 x.
     Таким образом, общее решение неоднородного уравнения принимает вид:
                            y( x ) = c1e x + c 2 e − x − 6 x.   (9.23)
     Используя краевые условия, получим следующую систему уравнений для
определения с1 и c2
                                             y( 0 ) = c1 + c 2 = 0 ,
                                                                                                            (9.24)
                                             y( 1 ) = c1e + c 2 e −1 − 6 = 0 .
Решая полученную систему, находим
                                                           3                     3
                                              с1 =             ,      c2 = −         .                      (9.25)
                                                          sh 1                  sh 1
Тогда
                                              y( x ) =
                                                            3 x
                                                           sh1
                                                                (           )
                                                               e − e −x − 6x .                              (9.26)
Учитывая, что
                                              e x − e−x
                                                        = shx ,                                               (9.27)
                                                  2
получим
                                                           6 shx
                                              y( x ) =           − 6x .                                       (9.28)
                                                            sh1
В таком случае
                                                            6chx                                              (9.29)
                                              y' ( x ) =         − 6.
                                                             sh1
С помощью MATLAB находим

                                                                179

Страницы