Решение задач оптимального управления с использованием математической системы MATLAB и пакета имитационного моделирования SIMULINK. Сивохин А.В - 178 стр.

Таблица 9.2
                  Варианты задач для функционалов типа J [ y[ x], z ( x)]
                         x1                            1
     J [ y[ x], z ( x)] = ∫ F ( x, y, y ′, z, z ′)dx   ∫ ( y′        + z ′ 2 + 2 y)dx
                                                                 2
 5                                                                                                             y (0) = 1; y (1) = 1.5;
                         x0                            0
                                                                                                               z (0) = 0; z (1) = 1
                         x1                            1
     J [ y[ x], z ( x)] = ∫ F ( x, y, y ′, z, z ′)dx   ∫(y           + z 2 + 2 y ′z ′)dx
                                                                 2
                                                                                                               y (0) = 0 y (1) = sh(1);
 6                       x0                            0
                                                                                                               z (0) = 0; z (1) = sh(1)

                         x1                            1


 7
     J [ y[ x], z ( x)] = ∫ F ( x, y, y ′, z, z ′)dx
                         x0
                                                       ∫ ( y ′z ′ + 2 yz)dx
                                                       0
                                                                                                               y (0) = 0; y (1) = 2;
                                                                                                               z (0) = 0; z (1) = −2
                         x1                            1
                                                                                     1
     J [ y[ x], z ( x)] = ∫ F ( x, y, y ′, z, z ′)dx   ∫ (2 xy − y ′                + z ′ 3 )dx
                                                                            2
 8                                                                                                             y (−1) = 2; y (1) = 0;
                         x0                            −1
                                                                                     3
                                                                                                               z (−1) = −1; z (1) = 1
                         x1                            1
     J [ y[ x], z ( x)] = ∫ F ( x, y, y ′, z, z ′)dx   ∫ (2 xy − 2 y                + y ′ 2 − z ′ 2 + 2 y)dx
                                                                                2
 9                                                                                                             y (0) = 1; y (1) = 0;
                         x0                            0
                                                                                                               z (0) = 0; z (1) = 1


      Следует отметить, что поиск экстремалей с помощью уравнений Эйлера-
Остроградского сужает класс рассматриваемых функций до класса C 2 , в котором
функции должны иметь непрерывные производные до второго порядка. Поэтому
если их решение не дало желаемого результата, то поиск экстремума
функционала должен производиться с помощью других методов.
      Для функционала аналогом дифференциала функции является его вариация
∂J , т.е. изменение функционала при замене функции из рассматриваемого класса
на ε -близкую функцию из того же класса. Так, для функционала
                                                                     x1

                                               J [ y ( x)] = ∫ F ( x, y, y ′)dx                                               (9.14)
                                                                     x0

вблизи экстремали y ( x) его первая вариация записывается следующим образом:
                                                                     x1
                                                                                     d
                                       δJ = [ Fy ′δy ] + ∫ ( Fy −
                                                            x1
                                                            x0                          Fy ′ )δydx ,                          (9.15)
                                                                     x0              dx
где δ y = αη (x) , так что ε -близкая к y (x) функция будет y ( x) + αη ( x);
     α - малый численный параметр;
     η (x) - произвольная функция класса C 2 , принимающая нулевые значения на
концах промежутка интегрирования.

   В качестве примера найдем точное и приближенное решение задачи о
минимуме функционала
                                1
               ν [ y (x )] = ∫ ( y ′ 2 + y 2 + 12 xy )dx, y (0) = y (1) = 0.                                                   (9.16)
                                0
                                                                          178