Решение задач оптимального управления с использованием математической системы MATLAB и пакета имитационного моделирования SIMULINK. Сивохин А.В - 176 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

176
Нахождение экстремалей позволяет вычислять относительные, или
локальные экстремумы. Математическое определение понятия локального
экстремума интегрального функционала производится с помощью
ε
-окрес-
тностей функций и их классов. Например, для простейшего функционала
()
[]
∫
′
=
1
0
),,(
x
x
dxyyxFxyJ
, (9.12)
в котором F является непрерывной функцией всех трех аргументов вместе с ее
производными до второго порядка в некоторой области B плоскости (x,y) и при
любых значениях
y
′
, экстремаль ищется в классе функций
1
C , имеющих в
промежутке
[]
10
, xx непрерывную производную. В этом классе определяется
ε
-
окрестность кривой
)(xyy = как множество кривых )(xy
i
, которые во всем
промежутке
[]
10
, xx удовлетворяют неравенству
ε
≤− )()( xyxy
i
. Иногда, кроме
этого неравенства, добавляют еще одно:
ε
≤
′
−
′
)()( xyxy
i
. В первом случае говорят
об
ε
-близости нулевого порядка, а во втором случае, при наличии двух
неравенств, говорят об
ε
-близости первого порядка. Если окажется, что величина
этого функционала для
)(xy , лежащей внутри упомянутой области B,
принадлежащей классу
1
C
и удовлетворяющей предельным условиям.
;
0
)
0
( yxy
=
;
1
)
1
( yxy
=
(9.13)
не меньше (или не больше) его величины для любых других кривых класса
1
C ,
находящихся в некоторой
ε
-близости к
)(xy
и удовлетворяющих тем же
предельным условиям, то говорят, что функционал
(
)
[
]
xyJ достигает локального
экстремума для кривой
)(xy .
Наряду с понятием локального экстремума вводится понятие абсолютного
экстремума для некоторого класса функций D, для которых интеграл
(
)
[
]
xyJ
имеет смысл. Говорят, что функционал
J[y(x)] достигает в классе D абсолютного
экстремума для кривой y(x), если величина этого функционала для y(x) не меньше
(или не больше) его величины для всех других кривых класса D.
Аналогичным образом определяются локальные абсолютные экстремумы для
функционалов других видов.
Таблица 9.1
Варианты задач для функционала типа
]][[ xyJ
№
п/п
Вид функционала Функционал Граничные
условия
1
∫
′
=
1
0
),,(]][[
x
x
dxyyxFxyJ
∫
′
2
0
3
dxy
1)2(;0)0(
=
= yy
2
∫
′
=
1
0
),,(]][[
x
x
dxyyxFxyJ
∫
′
−+
1
0
22
)2( dxyyyxy
2)1(;1)0( == yy
3
∫
′
=
1
0
),,(]][[
x
x
dxyyxFxyJ
∫
+
′
1
0
2
)12( dxxyy
1)1(;1)0( == yy 
    Нахождение экстремалей позволяет вычислять относительные, или
локальные экстремумы. Математическое определение понятия локального
экстремума интегрального функционала производится с помощью ε -окрес-
тностей функций и их классов. Например, для простейшего функционала
                                                       x
                                                        1
                                        J [ y ( x )] = ∫ F ( x, y, y ′)dx ,                       (9.12)
                                                      x
                                                        0
 в котором F является непрерывной функцией всех трех аргументов вместе с ее
производными до второго порядка в некоторой области B плоскости (x,y) и при
любых значениях y ′ , экстремаль ищется в классе функций C1 , имеющих в
промежутке [x0 , x1 ] непрерывную производную. В этом классе определяется ε -
окрестность кривой y = y (x) как множество кривых yi (x) , которые во всем
промежутке [x0 , x1 ] удовлетворяют неравенству y i ( x) − y ( x) ≤ ε . Иногда, кроме
этого неравенства, добавляют еще одно: y i′ ( x) − y ′( x) ≤ ε . В первом случае говорят
об ε -близости нулевого порядка, а во втором случае, при наличии двух
неравенств, говорят об ε -близости первого порядка. Если окажется, что величина
этого функционала для y (x) , лежащей внутри упомянутой области B,
принадлежащей классу C1 и удовлетворяющей предельным условиям.
                               y( x ) = y ; y( x ) = y ;
                                   0     0      1     1
                                                                                (9.13)
не меньше (или не больше) его величины для любых других кривых класса C1 ,
находящихся в некоторой ε -близости к y (x) и удовлетворяющих тем же
предельным условиям, то говорят, что функционал J [ y (x )] достигает локального
экстремума для кривой y (x) .
    Наряду с понятием локального экстремума вводится понятие абсолютного
экстремума для некоторого класса функций D, для которых интеграл J [ y (x )]
имеет смысл. Говорят, что функционал J[y(x)] достигает в классе D абсолютного
экстремума для кривой y(x), если величина этого функционала для y(x) не меньше
(или не больше) его величины для всех других кривых класса D.
    Аналогичным образом определяются локальные абсолютные экстремумы для
функционалов других видов.

Таблица 9.1
                           Варианты задач для функционала типа J [ y[ x]]
№     Вид функционала                        Функционал                           Граничные
п/п                                                                               условия
                  x1                          2
      J [ y[ x]] = ∫ F ( x, y, y ′)dx         ∫ y ′ dx
                                                   3
 1                                                                                y (0) = 0; y (2) = 1
                  x0                          0
                  x1                          1
      J [ y[ x]] = ∫ F ( x, y, y ′)dx         ∫ ( xy + y         − 2 y 2 y ′)dx
                                                             2
 2                                                                                y (0) = 1; y (1) = 2
                  x0                          0
                  x1                          1
      J [ y[ x]] = ∫ F ( x, y, y ′)dx         ∫ ( y′       + 12 xy)dx
                                                       2
 3                                                                                y (0) = 1; y (1) = 1
                  x0                          0




                                                            176

Страницы