Решение задач оптимального управления с использованием математической системы MATLAB и пакета имитационного моделирования SIMULINK. Сивохин А.В - 175 стр.

     Fy′ - частная производная по y ′ от той же функции F (это условие называется
уравнением Эйлера);
                                                                  x1

     б) для функционала J [ y ( x), z ( x)] = ∫ F ( x, y, y ′, z, z ′)dx :
                                                                  x0

                                  d                      d
                               Fy −   Fy′ = 0 ;     Fz − Fz′ = 0 ;                                                                   (9.2)
                                 dx                      dx
                   y ( x ) = y ; y ( x ) = y ; z ( x ) = z ; z ( x1 ) = z ,                                                          (9.3)
                        0     0       1     1       0     0              1
где Fz и Fz′ - соответствующие частные производные;
    в) для функционала
                                                             x1
                                                                                         ′                     ′           ′
                     J [ y1 ( x), y 2 ( x),..., y n ( x)] = ∫ F ( x, y1 , y1′ , y 2 , y 2 ,..., y n −1 , y n −1 , y n , y n )dx :    (9.4)
                                                             x0

                                             d
                                           Fyk − Fy′ = 0 (k=1,2,…,n);                                                                   (9.5)
                                            dx k
                             y k ( x0 ) = y 0 k ; y k ( x1 ) = y1k (k=1,2,…,n);                                                         (9.6)
                                                  x
                                                   1
     г) для функционала J [ y (x )] = ∫ F ( x, y, y ′,..., y ( n ) )dx :
                                                 x
                                                   0
                                       d                           dn
                              Fy − Fy′ + ... + (−1) n n Fy ( n ) = 0;                                                                   (9.7)
                                      dx                          dx
      y ( x ) = y ; y ( x ) = y ; y ′( x ) = y ′ ; y         ( n −1)
                                                                     ( x ) = y ( n −1) 0 ; y ( n −1) ( x1 ) = y ( n −1)1;            (9.8)
           0     0       1       1         0         0                  0
     д) для функционала J [u ( x, y )] = ∫∫ F ( x, y, u, u x , u y )dxdy :
                                                              B
                                      ∂     ∂
                                  Fu − Fux − Fuy = 0; u l ( x, y ) ,                                                                 (9.9)
                                      ∂x    ∂y
где u x и u y - частные производные от искомой функции u ( x, y ) соответственно
по x и y.
     Fu , Fux , Fuy - частные производные от подынтегрального выражения;
     u l ( x, y ) - граничные условия, т.е. значения функции u ( x, y ) на контуре области
интегрирования B (это дифференциальное уравнение называется уравнением
Остроградского);
     е) для функционала J [u ( x, y, z )] = ∫∫∫ F ( x, y, z, u, u x , u y , u z )dxdydz :
                                                                  V

                              ∂      ∂       ∂
                            Fu −Fux − Fuy − Fuz = 0; и u s ( x, y, z ),           (9.10)
                             ∂x      ∂y     ∂z
где u s ( x, y, z ) - значения функции u ( x, y, z ) на поверхности S объема интегрирования
V;
        ж) если в выражение функционала J [u ( x, y, z )] входят производные функции
u ( x, y, z ) до порядка n, то уравнение Остроградского имеет вид:
                                     ∂       ∂     ∂     ∂2
                             Fu −       Fux − Fuy − Fuz + 2 Fuxx + ... = 0.                                                         (9.11)
                                     ∂x      ∂y    ∂z    ∂x
    В табл. 9.1 и 9.2 приведено несколько примеров вариационных задач для
функционалов различных видов.


                                                                       175