Решение задач оптимального управления с использованием математической системы MATLAB и пакета имитационного моделирования SIMULINK. Сивохин А.В - 79 стр.

                                         x n = ϕ n ( x1 , x 2 ..., x n , t );


полностью определяется заданием начальных параметров x10 , x 20 ,..., x n0 в
момент t = t0 (задача Коши) или заданием конечных значений x1k , x 2k ,..., xnk в
момент t = t k (краевая задача), если функции f1 , f 2 ,..., f n удовлетворяют
некоторым общим условиям. Возможно также задание некоторой
линейной комбинации значений x10 , x 20 ,..., x n0 и x1k , x 2k ,..., xnk в точках t 0 и t k
соответственно, а также другие формулировки, например, нахождение
функций f1 , f 2 ,..., f n , обеспечивающих оптимальное движение системы.
   Независимо от происхождения исследуемой динамической системы
оказывается полезной интерпретация системы (3.1) в пространстве
координат x1 , x 2 ..., x n , которые называют фазовым пространством. При
такой интерпретации пространство представляют заполненным
непрерывной средой, частицы которой перемещаются со скоростью

                         r   dx1 r dx 2 r          dx r       r        r              r
                      υ=         i1 +    i2 + ... + n in = f 1i1 + f 2 i2 + ... + f n in ,
                             dt       dt            dt
(3.3)


        r    r       r
где i1 , i2 ,..., in являются единичными векторами в этом пространстве.
      Кривые,    соответствующие               перемещающейся                          в   фазовом
пространстве точке x1 , x 2 ..., x n , называются фазовыми траекториями. Их
изучение оказывается весьма плодотворным для оценки поведения
динамической системы.
   Следующая теорема Коши дает точную формулировку условий,
обеспечивающих существование и единственность решения в некоторой
близости начальной точки:
   Система обыкновенных дифференциальных уравнений (3.1) с началь-
ными условиями x1 (t 0 ) = x10 ; x2 (t 0 ) = x20 ; x3 (t 0 ) = x30 ,...; x n (t 0 ) = xn 0 имеет в
неко-тором интервале t 0 − h ≤ t ≤ t 0 + h , где h – константа, зависящая от
системы (3.1), единственное решение

                                          x1 = ϕ1 (t ); x 2 = ϕ 2 (t ),...; x n = ϕ n (t ),
(3.4)

принимающее                           при                    t = t0             заданные      значения
ϕ1 (t 0 ) = x10 ;ϕ 2 (t 0 ) = x 20 ;...; ϕ n (t 0 ) = x n10 , если: