Теория массового обслуживания. Сивохин А.В - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

13
)()2(),...()2(),()2(
)2()2(
22
)2(
11
nn
SppSppSpp === - вероятности после второго шага; и
вообще после k-ого шага
)()(),...,()1(),()(
)()(
22
)(
11
k
nn
kk
SpkpSppSpkp === .
Для каждого значения k
1)(...)()(
21
=
+
+
+
kpkpkp
n
. Будем называть
вероятности
)(...,),(),(
21
kpkpkp
n
вероятностями состояний. Найдем эти
вероятности для любого k.
Для любого шага существуют какие-то вероятности перехода системы
из любого состояния в любое другое. Будем называть эти вероятности
переходными вероятностями марковской цепи. Марковская цепь называется
однородной, если переходные вероятности не зависят от номера шага. В
противном случае марковская цепь называется неоднородной.
В
дальнейшем будем считать марковскую цепь однородной. Обозначим
p
ij
вероятность перехода системы S за один шаг из состояния S
i
в состояние
S
j
. Эти вероятности можно записать как условные
вероятности:
).(
)1()( −
=
k
i
k
jij
SSpp
Из вероятностей p
ij
можно составить матрицу
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
nnnn
n
n
ppp
ppp
ppp
...
...................
...
...
21
22221
11211
1
π
,
которая называется матрицей перехода за один шаг. Сумма элементов
каждой строки равна единице.
Обозначим p
ij
(k) вероятность перехода системы S из состояния S
i
в
состояние S
j
за k шагов. По формуле полной вероятности можно записать
∑
=
−⋅=
n
m
mjimij
lkplpkp
1
)()()( . (3.1)
Обозначим через π
k
матрицу перехода через k шагов 
 p1 (2) = p( S1( 2 ) ), p 2 (2) = p( S 2( 2 ) ),... p n (2) = p( S n( 2 ) ) - вероятности после второго шага; и

вообще после k-ого шага p1 (k ) = p( S1( k ) ), p 2 (1) = p( S 2( k ) ),..., p n (k ) = p( S n( k ) ) .
        Для каждого значения k p1 (k ) + p2 (k ) + ... + pn (k ) = 1 . Будем называть
вероятности            p1 (k ), p 2 (k ), ..., p n (k ) вероятностями               состояний.    Найдем       эти
вероятности для любого k.
        Для любого шага существуют какие-то вероятности перехода системы
из любого состояния в любое другое. Будем называть эти вероятности
переходными вероятностями марковской цепи. Марковская цепь называется
однородной, если переходные вероятности не зависят от номера шага. В
противном случае марковская цепь называется неоднородной.
        В дальнейшем будем считать марковскую цепь однородной. Обозначим
pij вероятность перехода системы S за один шаг из состояния Si в состояние
S j.       Эти          вероятности                  можно                  записать        как           условные
вероятности: pij = p( S (j k ) Si( k −1) ).

        Из вероятностей pij можно составить матрицу
                                                        ⎡ p11      p12 ... p1n ⎤
                                                        ⎢                           ⎥
                                                           p 21    p 22 ... p 2 n ⎥
                                                 π 1 = ⎢⎢                             ,
                                                          ....    ..... ...... .... ⎥
                                                        ⎢                           ⎥
                                                        ⎢⎣ p n1    p n 2 ... p nn ⎥⎦

которая называется матрицей перехода за один шаг. Сумма элементов

каждой строки равна единице.

        Обозначим pij(k) вероятность перехода системы S из состояния Si в
состояние Sj за k шагов. По формуле полной вероятности можно записать
                                  n
                      pij (k ) = ∑ pim (l ) ⋅ p mj (k − l ) .                                                 (3.1)
                                 m =1


        Обозначим через πk матрицу перехода через k шагов




                                                            13

Страницы