Теория массового обслуживания. Сивохин А.В - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

14
.
)(...)()(
...................
)(...)()(
)(...)()(
21
22221
11211
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
kpkpkp
kpkpkp
kpkpkp
nnnn
n
n
k
π
Согласно (3.1) между матрицами перехода с различными индексами
существует соотношение π
k
=π
l
π
k-l
(0<l<k). В частности, при k = 2 находим,
что
,
2
1112
π
π
π
π
== при k = 3 ,
3
1213
π
π
π
π
== и вообще при любом k
.
1
π
π
k
K
= (3.2)
Отметим частный случай формулы (3.1) при l = 1
∑
=
−⋅=
n
m
mjimij
kppkp
1
).1()1()( (3.3)
Обозначим
)).0(),...,0(),0(()0(
21 n
pppp =
r
Тогда по формуле полной вероятности имеем
.)0()1(
1
π
⋅
=
pp
r
r
(3.4)
Из формулы (3.3) следует
.)1()(
1−
⋅
=
k
pkp
π
r
r
(3.5)
Учитывая формулы (3.2) и (3.4) из уравнения (3.5) получим
.)0()(
1
k
pkp
π
⋅=
r
r
(3.6)
Теорема Маркова. Если при некотором m > 0 все элементы матрицы
π
m
положительны, то существуют такие постоянные числа p
j
(j = 1,2,3,…,n)
что независимо от индекса i имеют место равенства
.)(lim
jij
k
pkp
=
∞→
(3.7)
Величины p
j
называются финальными вероятностями системы S. Заметим,
что
p
1
+ p
2
+…+ p
n
= 1. (3.8)
Обозначим
).,...,,(
21 n
pppp =
r
Так как
,)1()(
1
π
⋅
−
= kpkp
r
r
(3.9)
то при
∞→k будем иметь 
                                                 ⎡ p11 (k )      p12 (k ) ... p1n (k ) ⎤
                                                 ⎢                                         ⎥
                                                    p 21 (k )    p 22 (k ) ... p 2 n (k )⎥
                                          π k = ⎢⎢                                         ⎥.
                                                   .... .....    ...... ....
                                                 ⎢                                         ⎥
                                                 ⎢⎣ p n1 (k )    p n 2 (k ) ... p nn (k ) ⎥⎦

         Согласно (3.1) между матрицами перехода с различными индексами
существует соотношение πk =πl πk-l                          (0 0 все элементы матрицы

π   m
        положительны, то существуют такие постоянные числа pj (j = 1,2,3,…,n)

что независимо от индекса i имеют место равенства
                                lim pij (k ) = p j .                                                        (3.7)
                                k →∞



Величины pj называются финальными вероятностями системы S. Заметим,
что
                        p1 + p2 +…+ pn = 1.                                                                 (3.8)
                    r
Обозначим p = ( p1 , p 2 ,..., p n ). Так как
                                r       r
                                p(k ) = p(k − 1) ⋅ π 1 ,                                                    (3.9)

то при k → ∞ будем иметь

                                                            14

Страницы