Теория массового обслуживания. Сивохин А.В - 16 стр.

                                          Лабораторная работа № 4
   Марковский процесс с дискретными состояниями и непрерывным
                                                               временем


      Имеется система S, которая в каждый момент времени может
находиться в одном из состояний S1, S2, …,Sn. Переход системы из одного
состояния в другое может осуществляться в любой момент времени. Такой
процесс называется непрерывной цепью Маркова.
      Обозначим pi(t) –вероятность того, что в момент времени t система S
будет находиться в состоянии Si (i=1,2,…,n). Для любого момента времени
                                                n

                                              ∑ p (t ) = 1.
                                               i =1
                                                       i                                               (4.1)

      Поставим задачу – определить для любого t вероятность состояний:
p1(t), p2(t), …, pn(t). Будем считать, что известны плотности вероятностей
перехода λij ( j ≠ i ) . Пусть Pij (∆t ) - вероятность перехода системы S из

состояния Si в состояние Sj за время ∆t . Тогда
                                                                     pij (∆t )
                                                 λij = lim                       .                     (4.2)
                                                            ∆t →0      ∆t
      Тогда с точностью до бесконечно малых высших порядков
                                                    pij (∆t ) ≈ λij ⋅ ∆t .                             (4.3)

Если λij не зависят от t, марковский процесс называется однородным, если
зависят – то неоднородным. В дальнейшем будем считать процесс
однородным.             Вероятности                        pi (t )      удовлетворяют   следующей   системе
дифференциальных уравнений:
      ⎧                 n                      n
        p
      ⎪ 1&  ( t ) = − ∑     λ1j  ⋅ p1 (t ) +  ∑     (λi1 ⋅ pi (t )),
      ⎪               j =2                    i=2

      ⎪
      ⎪ p& 2 (t ) = −∑ λ 2 j ⋅ p 2 (t ) + ∑ (λi 2 ⋅ pi (t )),
      ⎨                j≠2                     i≠2                    .                               (4.4)
      ⎪...              ...                   ...
      ⎪
      ⎪               n −1                     n −1
        p
      ⎪ n&   (t ) = − ∑     λ nj ⋅ p n (t ) + ∑      (λin ⋅ pi (t )).
      ⎩                j =1                    i =1


                                                                       16