Теория массового обслуживания. Сивохин А.В - 29 стр.

                                 Лабораторная работа № 7
 Система массового обслуживания смешанного типа с ограничением по
                                          длине очереди


Рассмотрим смешанную систему массового обслуживания Х с n каналами
при следующих условиях. На вход системы поступает простейший поток
заявок с плотностью λ . Время обслуживания одной заявки Тоб -
                                            1
показательное с параметром µ =                   . Заявка, заставшая все каналы занятыми,
                                           mt об

становится в очередь и ожидает обслуживания при условии, что длина
очереди меньше m. Если же число заявок в очереди равна m (больше m оно
быть не может), то последняя прибывшая заявка в очередь не становится и
покидает систему не обслуженной.
        Заявку будем называть «связанной с системой», если она либо
находится в состоянии обслуживания, либо ожидает очереди. Возможные
состояния будут
        x0 – ни один канал не занят,
        xk – занято ровно k каналов            (1 ≤ x ≤ n) ,
        xn+s – заняты все n каналов, s заявок стоят в очереди.                     (1 ≤ s ≤ m).
        Число заявок           s, стоящих в очереди, не может быть больше m.
Соответственно,             число описывающих ее дифференциальных уравнений
равно
n + m + 1. Они имеют вид:
 ⎧ p& 0 (t) = −λ ⋅ p0 (t) + µ⋅ p1(t),
 ⎪
 ⎪ p& k (t) = λ ⋅ pk −1(t) − (λ +k ⋅µ)⋅ pk (t) + (k +1)⋅µ⋅ pk +1(t),    (1 ≤ k ≤ n−1),
 ⎪
 ⎨ p& n (t) = λ ⋅ pn−1(t) − (λ +n⋅µ)⋅ pn (t) + n⋅µ⋅ pn+1(t) ,                                     (7.1)
 ⎪&
 ⎪ pn+ s (t) = λ⋅ pn+ s −1(t) − (λ +n⋅µ)⋅ pn+ s (t) + n⋅µ⋅ pn+ s +1(t) , (1 ≤ s ≤ m−1) ,
 ⎪ p&
 ⎩ n+m (t) = λ⋅ pn+m−1(t) − n⋅ µ ⋅ pn+m (t) .

        Начальными условиями являются:

         p (0) = 1, p (0) = 0
           0            k
                                   (k = 1,2,..., n + m).

                                                   29