Эконометрика. Краткий курс. Скляров Ю.С. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

57
Х =
2
11 1
2
22 2
2
1
1
.
1
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
…
…
…
m
m
m
nn n
xx x
xx x
xx x
Если n = m +1, то коэффициенты a
0
, a
1
, ..., a
m
можно выбрать так,
что все наблюденные значения будут лежать в точности на кривой,
определенной аппроксимирующим полиномом, то есть
y(x
i
) = y
i
, i = 1, 2, ..., n.
Полином такого вида называется полиномом Лагранжа, а его ко-
эффициенты определяются решением системы линейных уравнений
Xa = y.
Если n ≥ m + 1, то информационная матрица по определению
имеет ранг m + 1 при условии, что ни в одной из пар наблюдений
значения входной переменной не совпадают, что вполне естествен-
но. Таким образом, для случая n > m + 1 применим в полном объеме
аппарат, изученный в пп. 4.2.1–4.2.3.
Предлагаем читателю самостоятельно проделать все выкладки
пп. 4.2.1–4.2.3 и
получить аналогичные результаты для моделей
пп. 4.3.1–4.3.2. Обратите внимание на тот факт, что вычисляемые
при этом оценки относятся к преобразованным переменным, так что
необходимы некоторые обратные преобразования для получения
оценок в терминах исходных переменных.
4.3.3. Регрессия, нелинейная по параметрам и переменным
Наиболее общей формой нелинейных регрессионных моделей яв-
ляются модели, нелинейные как по параметрам, так и по входным
переменным. Сразу же отметим, что общих методов анализа таких
моделей не существует. Более того, не существует даже сколько-
нибудь систематической классификации моделей такого типа. Мы
рассмотрим здесь некоторые примеры, которые при всем их разнооб
-
разии сводятся к линеаризации нелинейной регрессионной модели.
Исследование динамики социально-экономических процессов
выявило наличие эффекта насыщения в изменении выходных пере-
менных. В разное время было предложено несколько моделей про-
цессов с насыщением. Рассмотрим некоторые из них.
Экспоненциальная модель вида
58
x
yke
β
−
=
при β>0 представляет типичную кривую насыщения с асимптотой
y = k и нулевым начальным значением. Логарифмируя левую и пра-
вую части:
ln ln ,yk
x
β
=
−
делая замену переменной
1
=
z
x
, получаем
ln
y = lnk – βz.
Наконец, вводя обозначения
u = lny,
a
0
= lnk,
–β = a
1
,
окончательно получаем уравнение линейной парной регрессии
u = a
0
+ a
1
z.
Так называемая логистическя кривая
1
=
+
at
k
y
bc
при
с > 1 и а > 0 также описывает кривую насыщения с асимптотой
y = k и начальным значением
1
+
k
b
.
К сожалению, никакими преобразованиями эта кривая не может
быть приведена к модели, линейной относительно параметров.
Хорошо известна производственная функция Кобба–Дугласа
y = ak
α
t
β
,
где y – объем производства; k – затраты капитала; t – затраты труда.
Показатели
α, β являются коэффициентами частной эластично-
сти. Логарифмируя левую и правую части:
ln
y = lna + αlnk + βlnt
и вводя обозначения
ln
y = z,
lna = a
0
,
lnk = x
1
,
lnt = x
2
,

Страницы