Эконометрика. Краткий курс. Скляров Ю.С. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

55
Нелинейные регрессионные модели достаточно сложны и тре-
буют, как правило, индивидуального подхода в каждом конкретном
случае. В этом подразделе мы рассмотрим регулярные методы ана-
лиза, применяемые к некоторым классам нелинейных регрессион-
ных моделей, которые в результате несложных преобразований
приводятся к линейным.
4.3.1. Модели множественной регрессии,
линейные по параметрам
Общей формой таких моделей является регрессионное уравне-
ние
0111 222
() ( ) ( )
=
++ ++
nm m
ya afx afx afx ,
где
f
i
(x
i
) – некоторая известная функция входной переменной x
i
.
За-
меной переменных
z
i
= f
i
(x
i
)
это уравнение может быть приведено к виду классической множест-
венной регрессии
y = a
0
+ a
1
z
1
+ a
2
z
2
+…+ a
m
z
m
.
Используя функциональную зависимость
z
i
= f
i
(x
i
), i = 1, 2, …, m,
вместо информационной матрицы
Х можно рассчитать информаци-
онную матрицу
Z и представить вектор наблюденных значений вы-
ходной величины в виде
y = Za + e.
Дальнейшие результаты с точностью до обозначений совпадают
с полученными в пп. 4.2.1–4.2.3.
4.3.2. Модели парной регрессии, линейные по параметрам
Важный и интересный класс регрессионных моделей составляют
модели парной регрессии, нелинейные по переменным, но линейные
по параметрам. Общий вид таких моделей описывается уравнением
y = a
0
+ a
1
f
1
(x) + a
2
f
2
(x) +…+a
m
f
m
(x),
где f
1
(x), …, f
m
(x) – функции весьма широкого класса.
Единственным требованием к ним является определенность на
промежутке
x
min
≤ x ≤ x
max
возможных значений входной перемен-
ной
х. Информационная матрица, которую мы по-прежнему обозна-
чаем буквой
Х, имеет вид
56
Х =
11 1
12 2
1
1() ()
1( ) ( )
.
1( ) ( )
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
…
…
…
m
m
nmn
fx f x
fx f x
fx f x
Для надежности статистических выводов необходимо, чтобы
число наблюдений было больше числа параметров, то есть соблю-
далось неравенство
n > m. Ранг матрицы должен быть равен m + 1.
Вектор наблюденных значений выходной величины может быть
представлен в виде
y = Xa + e.
Дальнейшие результаты в точности совпадают с полученными в
пп. 4.2.1–4.2.3. Представляют интерес два важных частных случая
рассматриваемой модели.
Модель циклических процессов
В моделях такого типа функции f(x) периодические:
f
i
(x) = sin(ω
i
x + ϕ
i
), i = 1, 2, …, m.
Если периоды составляющих гармонии удовлетворяют усло-
вию
1
=
i
T
T
i
, то для анализа таких моделей можно использовать ап-
парат рядов Фурье. В противном случае применяется изложенный в
пп. 4.2.1–4.2.3 аппарат анализа множественной линейной регрессии.
Модели циклических процессов весьма актуальны при изучении
и прогнозировании временных рядов. Некоторые специфические
методы анализа временных рядов, в том числе со скрытыми перио-
дичностями, будут рассмотрены в
следующем разделе.
Модель полиномиальной парной регрессии
В моделях этого типа функции f
i
(x) имеют вид
f
i
(x) = x
i
, i = 1, 2, …, m,
так что аппроксимирующая зависимость представляется полиномом
y = a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+...+ a
m
x
m
.
Информационная матрица
Х приобретает специфическую форму

Страницы