Составители:
Рубрика:
51
a = (X
t
X)
–1
X
t
y.
Сформулируем дополнительное условие, которому должна
удовлетворять классическая нормальная модель множественной
регрессии.
Условие 6.
Столбцы матрицы X должны быть линейно независимы, то есть
ее ранг равен
m+1. В этом случае матрица X
t
X неособенная и имеет
обратную матрицу. Заметим также, что для надежности статистиче-
ских выводов число наблюдений
n должно быть больше числа ис-
комых параметров
m+1:
n> m+1.
4.2.2. Оценка точности аппроксимации
Приведенные ниже результаты являются, по сути дела, матрич-
ным аналогом выражений, полученных в п. 4.2.1 для случая парной
регрессии. Аналогом остаточной дисперсии является ковариацион-
ная матрица возмущений.
В силу условий 1–6 ковариационная матрица возмущений диа-
гональна, причем элементы главной диагонали равны
2
σ
:
M(ee
t
) =σ
2
E
n
,
где
E
n
– единичная матрица порядка n.
Оценкой
2
σ является по-прежнему выборочная остаточная дис-
персия
2
2
()
.
(1)
−
=
−+
∑
i
i
yy
s
nm
В выражении для
2
s
использовано m+1 выборочных параметров
– коэффициентов регрессии
01
, , , .
n
aa a… Поэтому число степеней
свободы равно
n–(m+1).
Аналогом дисперсии параметра
a
1
(см. п. 4.1.2) является кова-
риационная матрица вектора оценок параметров
a, которая по опре-
делению равна
K
a
= M[(a – α)(a – α)
t
],
52
где α – вектор истинных коэффициентов регрессии
*
.
После несложных, хотя громоздких преобразований, матрицу
K
a
получаем в виде
K
a
= s
2
(X
t
X)
–1
.
Отметим, что матрица
K
a
определяется по той же обратной мат-
рице (
X
t
X)
–1
, что и вектор параметров a.
Теперь мы в состоянии найти доверительные интервалы для па-
раметров регрессионной модели, доверительную полосу для функ-
ции регрессии и индивидуальных значений выходной переменной.
Обозначим через (
X
t
X)
–1
i
i-й диагональный элемент матрицы
(
X
t
X)
–1
. Тогда дисперсия коэффициента a
i
запишется в виде
s
2
ai
= s
2
[(X
t
X)
–i
]
i
.
Задавая уровень значимости
р и используя табличное значение
распределения Стьюдента с
n–(m+1) степенями свободы, получаем
доверительный интервал для коэффициента ά
i
11
22
//, 0, 1, , .
iaip i ia p
i
ast n ast ni m
−−
−≤α≤+ =…
Доверительный интервал для остаточной дисперсии
2
σ
с уров-
нем значимости
р, как и ранее, определяется с помощью распреде-
ления
2
χ
, но с числом степеней свободы n–(m+1):
22
2
22
1
22
(( 1)) (( 1))
.
pp
nm s nm s
−
−+ −+
≤σ ≤
χχ
Для определения доверительной полосы функции регрессии не-
обходимо вычислить среднеквадратичное отклонение
y . Матрич-
ный аналог соответствующего выражения п. 4.1.2 имеет вид
()
1−
=
tt
y
y
ssxXX x
и является функцией вектора входных переменных x. Доверитель-
ная полоса при этом имеет вид трубки в (
m+1)-мерном пространстве
переменных
1
, , ,
n
x
xy… :
*
Напомним, что () .
=
αMa
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- …
- следующая ›
- последняя »
