Эконометрика. Краткий курс. Скляров Ю.С. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

49
то гипотеза
1
0α= отвергается и уравнение регрессии признается
значимым. Оба способа проверки значимости по
F- и t-критерию
равносильны.
Одной из наиболее эффективных оценок адекватности регресси-
онной модели является коэффициент детерминации
2
1.==−
e
R
Q
Q
R
QQ
(4.19)
Коэффициент детерминации показывает, какая доля общей ва-
риации выходной переменной
у обусловлена зависимостью ее от
входной переменной.
Очевидно, чем ближе
2
R
к единице, тем качественнее уравне-
ние регрессии аппроксимирует эмпирическую зависимость.
Критерий значимости, основанный на коэффициенте детермина-
ции, имеет вид
2
2
()
(1 )( 1)
−
=
−
−
Rnm
F
Rm
>
112
(, )
− p
F
ff ,
где по-прежнему
1
1,
=
−fm
2
.=−
f
nm
Можно показать, что
2
2
22
()
(1 )( 1)
−
=
−−
R
s
Rnm
R
ms
,
так что обе статистики дают одинаковые критерии значимости. По-
лезно отметить, что в случае парной регрессии
22
,=
r что удобно
для вычислений. Использование коэффициента детерминации, по-
жалуй, более наглядно. В остальном обе статистики совершенно
равноправны.
4.2. Множественная линейная регрессия
4.2.1. Выборочная оценка коэффициентов регрессии
В этом подразделе мы рассмотрим зависимость выходной пере-
менной
у от m входных переменных – факторов. Пусть у
ί
– i-e на-
блюдение. Тогда в соответствии с линейной регрессионной моделью
для
у
ί
получаем
50
011 2
,
=
α +α +α + +α +ε…
iiimmii
yxxx
где , 0, 1, ,
j
jmα= … – коэффициенты регрессии; , 1, 2, ,
i
in
ε
= … –
случайная ошибка.
Здесь, как и ранее, предполагаем, что случайная ошибка
ε
i
удовлетворяет приведенным выше требованиям 1–5. Выборочное
уравнение регрессии имеет вид
01122
,=+ + ++…
mm
ya ax ax ax
где
01
, , ,
m
aa a… – выборочные оценки коэффициентов регрессии.
Обозначая через
a m+1-мерный вектор-столбец выборочных коэф-
фициентов регрессии, а через
x m+1-мерный вектор-столбец
(
12
1, , , ,
m
x
xx… ), уравнение регрессии можно записать в форме ска-
лярного произведения
=
y 〈a, x〉.
Введем следующие обозначения:
y – вектор-столбец
12
(, , , )
m
yy y… ; e – вектор-столбец
12
( , , , )
m
ε
εε… ; x
k
– вектор-
столбец
12
(1, , , , )
kk mk
x
xx… ; X – матрица размером (1)×+nm ,
строками которой являются векторы
x
k
.
Тогда совокупность
m наблюдений можно записать в матричной
форме
y = Xa + e.
Повторяя в точности алгоритм метода наименьших квадратов,
приведенный в п. 4.1.1 последовательно получаем:
– вектор ошибок (отклонений)
e = y – Xa;
– сумма квадратов отклонений
Q = (y – Xa)
t
(y – Xa);
– условия минимума
X
t
Xa =X
t
y.
Если матрица
X
t
X размером (1)(1)
+
×+mm имеет ранг (m+1),
то вектор коэффициентов формально определяется выражением

Страницы