Эконометрика. Краткий курс. Скляров Ю.С. - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

87
0
.
−
=
α=ε
∑
m
iti t
i
U (5.1)
Коэффициенты α
1
, …, α
m
можно получить методом наименьших
квадратов. Но удобнее использовать другой путь, учитывая, что пе-
ред построением авторегрессионной модели вычисляется коррело-
грамма.
Умножим уравнение (5.1) последовательно на U
t–1
, …, U
t–m
, возь-
мем математические ожидания и разделим на дисперсию ряда.
Учитывая, что ρ
i
= ρ
–i
, получим систему уравнений вида
ρ
k
+ α
1
ρ
k–1
+ …+α
k
ρ
k–m
= 0, k = 1, 2, …, m
или в развернутой форме, с учетом того, что ρ
0
= 1:
ρ
1
+ α
1
+ α
2
ρ
2
+ … +α
m
ρ
m–1
= 0;
ρ
2
+ α
1
ρ
1
+ α
2
+ … +α
m
ρ
m–2
= 0;
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
ρ
m
+ α
1
ρ
m–1
+ α
2
ρ
m–2
+ … +α
m
= 0.
Эти уравнения носят название уравнений Юла–Уокера. Решая
их, находим выражения коэффициентов α
1
, …, α
m
через значимые
коэффициенты автокорреляции ρ
1
, …, ρ
m
.
Так, для m = 1 получаем простейший случай автокорреляцион-
ного ряда – марковский ряд
U
t
+ α
1
U
t–1
= ε
t
.
Уравнение Юла–Уокера имеет вид
ρ
1
+ α
1
= 0,
то есть α
1
= –ρ
1
= –ρ, и уравнение авторегрессии можно переписать
в виде
U
t
– ρU
t–1
= ε
t
(5.2)
или
U
t
= ρU
t–1
+ ε
t
.
Более сложный авторегрессионный ряд (ряд Юла) получаем при
m = 2
U
t
+ α
1
U
t–1
+ α
2
U
t–2
= ε
t
.
(5.3)
Из первых двух уравнений Юла–Уокера имеем
ρ
1
+ α
1
+ α
2
ρ
1
= 0;
ρ
2
+ α
1
ρ
1
+ α
2
= 0.
88
Отсюда
12
1
2
1
(1 )
1
ρ
−ρ
α=−
−ρ
,
2
21
2
2
1
1
ρ
−ρ
α=−
−
ρ
.
Вторая схема линейной авторегрессии записывается в виде
U
t
= ε
t
+ β
1
ε
t–1
+ … +β
m
ε
t–m
(5.4)
и называется обычно схемой скользящих средних. Для выбора m
здесь используется коррелограмма – величина m определяется ко-
личеством первых значимых коэффициентов корреляции. Для оцен-
ки коэффициентов β
i
используется прием, который мы продемонст-
рируем на простейшей модели
U
1
= ε
t
+ β ε
t–1
.
Этот процесс имеет теоретически бесконечную предысторию.
Оборвем ее на элементе ε
0
ряда. Тогда последовательно получаем
U
1
= ε
1
+ βε
0
;
U
2
= ε
2
+ βε
1
= ε
2
+ βU
1
– β
2
ε
0
;
U
3
= ε
3
+ βε
2
= ε
3
+ βU
2
– β
2
U
1
+ β
3
ε
0
.
Наконец:
U
t
= ε
t
+ βU
t–1
–β
2
U
t–2
+ …+(–β)
k
U
t–k
+ (–β)
k+1
ε
0
.
Сравним это выражение с уравнением первой схемы авторегрес-
сии
U
t
= ε
t
+ α
1
U
t–1
+ α
2
U
t–2
+ …+ α
k
U
t–k
.
Очевидно, они одинаковы с точностью до остаточного члена
(–β)
k+1
ε
0
, если положить
a
k
= (–β)
k
.
Дисперсия остаточного числа
D((–β)
k+1
ε
0
) = β
2(k+1)
D(ε
0
) = β
2(k+1)
σ
2
при |β|<1 достаточно быстро стремится к нулю. Поэтому модель
скользящих средних (5.4) при достаточно большом k можно аппрок-
симировать авторегрессионной моделью. Оценки a
i
коэффициентов
α
i
могут быть получены методом наименьших квадратов или из
уравнений Юла–Уокера. Оценка коэффициента β вычисляется по
выражению
1
2
1
01
kk
ii i
ii
baa a
−
+
==
=−
∑
∑
,
где а
0
= 1.

Страницы