Составители:
Рубрика:
85
(
()
()
)
2
2
22
1
2
11
1
2
11
1
() () () cos sin
1
2(coscos()sin())
1
2cos.
tt
nnk
tttk
kt
nnk
tttk
kt
Aa b U t U t
n
UUUttkttk
n
UUUk
n
−−
+
==
−−
+
==
ω= ω+ ω= ω + ω =
π
⎛⎞
=+ ω⋅ω++ω+=
⎜⎟
⎜⎟
π
⎝⎠
⎛⎞
=+ ω
⎜⎟
⎜⎟
π
⎝⎠
∑∑
∑∑∑
∑∑∑
Так как при нулевом начальном среднем
22
1
;=
∑
t
Us
n
1
(, )
ttk t tk
UU K U U
n
++
=
∑
;
2
(, )
ttk
k
KU U
r
s
+
= ,
то окончательно получаем
2
1
1
() 1 2 cos .
−
=
⎛⎞
ω
=+ ω
⎜⎟
⎜⎟
π
⎝⎠
∑
n
k
k
s
Ark
Величина s носит название интенсивности. Напомним, что А(ω)
пропорциональна амплитуде гармоники с частотой ω. Полагая ω
переменной, получаем зависимость интенсивности от частоты.
Величина
1
2
1
() () 1 2 cos
−
=
π
ω
=ω =+ ω
∑
n
k
k
SA rk
s
называется спектральной плотностью стационарного ряда. При
этом мы считаем n достаточно большим.
Отметим следующую важную деталь. При гармоническом раз-
ложении сезонной составляющей мы стремились получить в явном
виде хотя бы несколько первых гармоник для того, чтобы выделить
регулярную периодическую составляющую. Здесь же мы ограничи-
ваемся спектром, который лишь указывает на
то, в какой степени
стационарный ряд подчиняется некоторому основному ритму.
Большего в экономических задачах требовать трудно. Отметим так-
же явную связь спектральной плотности с коррелограммой.
Если все r
k
равны нулю, то S(ω) = 1, что в точности соответству-
ет плотности белого шума. Это означает, что все гармонические со-
ставляющие белого шума имеют одинаково распределенные ампли-
туды.
86
Спектральная плотность марковского ряда имеет вид
1
1
() 1 2 cos
−
=
ω
=+ ω
∑
n
k
k
Srk.
В физике и технике спектральная плотность обычно отождествляет-
ся с энергией, которую несет гармоника частоты ω, так что спек-
тральный состав характеризует распределение энергии сигнала по
гармоническим составляющим.
Представить экономический смысл интенсивности и спектральной
плотности довольно сложно. Поэтому в экономических задачах чаще
пользуются коррелограммами. Тем не менее, вычисление спектра ста
-
ционарного ряда часто позволяет обнаружить скрытые периодичности,
которые затем можно исследовать другими методами.
5.5. Авторегрессионные модели временных рядов
В предыдущем подразделе было отмечено, что даже после выде-
ления тренда и периодических составляющих остаток ряда U
t
может
иметь коррелограмму, свидетельствующую о наличии некоторой
скрытой зависимости между членами ряда. Поскольку остаток ста-
ционарный и эргодический и, следовательно, временной фактор
полностью учтен, разумно предположить, что наблюдаемая зависи-
мость объясняется предысторией, то есть влиянием предыдущих
значений переменных на последующие. Другой механизм образова-
ния автокорреляции может состоять в том, что на
остаток U
t
влияет
не только случайное возмущение ε
t
, но и случайные возмущения ε
t–1
,
ε
t–2
и т. д. И в том и в другом случае можно устранить авторегрес-
сию применением разностных моделей, называемых в дальнейшем
авторегрессионными.
Первой схемой линейной авторегрессии является схема вида
U
t
= –α
1
U
t–1
– α
2
U
t–2
– …– α
m
U
t–m
+ ε
t
.
Здесь мы предполагаем, что значение члена ряда с номером t за-
висит от значений m предыдущих членов ряда с номерами t–1, t–2,
…, t–m. Выбор величины m – дело довольно тонкое. Можно пореко-
мендовать следующий прием. Вычислим частные коэффициенты
автокорреляции r
част
(τ) для τ =1, 2, … и оценим их значимость. Если
при τ>m коэффициенты r
част
(τ) незначимо отличаются от нуля, то
величину m можно принять в качестве порядка модели. Положим
α
0
=1 и запишем уравнение автокорреляции в виде
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- …
- следующая ›
- последняя »
