Эконометрика. Краткий курс. Скляров Ю.С. - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

83
12 1
112
12
1
1
1
−
−
−−

n
n
nn
rr r
rrr
rr
,
которая является неотрицательно определенной матрицей Лорана.
Отметим также, что по мере увеличения k число слагаемых в числи-
теле убывает и, следовательно, надежность оценок коэффициентов
корреляции с ростом k падает. В случае стационарных временных
рядов для увеличения надежности оценки можно использовать сле-
дующий прием. Увеличим длину ряда, полагая
y
n+1
= y
1
, y
n+2
= y
2
, …, y
n+k
= y
k
.
Тогда
1
2
1
()( )
()
+
=
=
−
−
=
−
∑
∑
n
ttk
t
k
n
t
t
yyy y
r
yy
, k = 1, 2, …, n–1.
Если ряд стационарный, такая операция вполне правомерна. Ко-
эффициент r
k
при этом называют циклической сериальной корреля-
цией (автокорреляцией).
Анализ коррелограмм позволяет делать важные выводы о пове-
дение временного ряда. Если r
k
=0 при всех k, то члены ряда (остат-
ки ε
t
) некоррелированы. Процесс такого вида называют белым шу-
мом. Если распределение членов ряда нормальное, то процесс назы-
вают гауссовским (нормальным) белым шумом. Белый шум – это
случайный процесс.
Важным типом стационарного ряда (процесса) является марков-
ский процесс. Для наших целей определим марковский процесс сле-
дующим образом.
Ряд называется марковским, если распределение вероятно
-
стей значений случайной величины y
t+1
зависит только от значе-
ний случайной величины y
t
. Иными словами, поведение ряда в
будущем зависит только от его состояния в настоящий момент
времени и не зависит от предыстории. Без доказательства отме-
тим, что если ряд марковский и ρ
1
= ρ, то ρ
k
= ρ
k.
Так как ρ
<
1, то
последовательность ρ
k
, k = 0, 1, 2, …, n–1 убывающая. Это свой-
ство характерно не только для марковских, но и для стационар-
84
ных рядов вообще. Полагая ряд бесконечным и обозначая через
τ интервал (лаг) между двумя сечениями стационарного ряда,
имеем
ρ(τ)→0, τ→∞.
Коррелограмма временного ряда вообще и стационарного в ча-
стности позволяет качественно оценить тесноту связи между после-
довательными членами ряда. Получив коэффициенты автокорреля-
ции, следует оценить их значимость.
Если автокорреляция значима,
ее следует устранить, используя авторегрессионные модели или мо-
дели скользящей средней. Эти вопросы будут рассмотрены в сле-
дующем подразделе.
5.4.2. Спектральное разложение
Сезонная составляющая ввиду явной периодичности имеет на-
глядное спектральное представление, позволяющее, по крайней ме-
ре, теоретически, выделить ее неслучайную часть как частичную
сумму ряда Фурье. Стационарный остаток, образовавшийся в ре-
зультате выделения тренда и регулярной сезонной составляющей, в
общем случае, имеет квазипериодический характер. Поэтому спек-
тральное представление может быть с успехом
использовано и для
анализа стационарных процессов.
Пусть ω – круговая частота некоторой гармоники; U
t
, t = 1, 2,
…, n – стационарный ряд остатков с нулевым математическим
ожиданием, и есть основания полагать, что U
t
коррелирует с этой
гармоникой. Сразу же отметим первую важную особенность: мы
не утверждаем, что U
t
содержит гармонику с частотой ω, но лишь
предполагаем, что U
t
коррелирует с этой гармоникой, как может
коррелировать один случайный процесс с другим. При этом ам-
плитуды синусной и косинусной составляющих – случайные ве-
личины.
Рассмотрим случайные величины
1
() cos
t
aUt
n
ω
=ω
π
∑
,
1
() sin ,
t
bUt
n
ω
=ω
π
∑
пропорциональные этим амплитудам, и определим величину, про-
порциональную квадрату полной амплитуды гармоники:

Страницы